빈출 유형
방정식의 실근의 개수
절댓값 함수의 그래프
출제의도
이 문항은 방정식의 실근의 개수를 그래프의 교점 개수로 바꾸어 생각할 수 있는지, 그리고 절댓값이 씌워진 함수의 그래프를 정확히 그릴 수 있는지 확인합니다.
f(x)=x3−12x+16의 극솟값이 정확히 0이라는 사실을 발견하는 것이 핵심입니다. 이 덕분에 y=|f(x)|의 그래프 모양이 깔끔하게 정해집니다.
단계별 힌트
방정식 |x3−12x+16|=k의 실근의 개수는 곡선 y=|x3−12x+16|과 직선 y=k의 교점의 개수와 같습니다. 먼저 절댓값 안의 함수가 어떤 모양인지 알아보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
f(x)=x3−12x+16이라 하면 f′(x)=3(x+2)(x−2)입니다. 극댓값과 극솟값을 구해 보면 극솟값이 특별한 값이라는 것을 알 수 있습니다.
y=|f(x)|의 그래프는 y=f(x)의 그래프에서 x축 아래 부분을 x축 위로 접어 올린 것입니다. f(x)가 음수가 되는 구간이 어디인지 확인하세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
직선 y=k를 아래에서 위로 움직이며 교점의 개수가 2, 4, 3, 2로 바뀌는 순간을 찾으세요. 교점이 정확히 3개가 되는 k는 하나뿐입니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② 32
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A극값 구하기
f′(x)=3(x+2)(x−2)=0에서 x=−2 또는 x=2입니다. 극댓값은 f(−2)=−8+24+16=32, 극솟값은 f(2)=8−24+16=0입니다.
STEP By=|f(x)|의 그래프 그리기
극솟값이 0이므로 f(x)=(x+4)(x−2)2이고, f(x)<0인 곳은 x<−4뿐입니다. 이 부분만 x축 위로 접어 올리면 x=−4, x=2에서 x축에 닿고 x=−2에서 높이 32의 봉우리를 가지는 그래프가 됩니다.
STEP C교점이 3개인 k 찾기
0<k<32이면 교점 4개, k>32이면 2개입니다. k=32일 때 봉우리 꼭짓점에서 접하고 양쪽 가지와 한 번씩 만나 교점이 3개이므로 k=32, 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · f(x)=k와 f(x)=−k로 나누어 세기
k>0일 때 |f(x)|=k는 f(x)=k 또는 f(x)=−k와 같습니다. 두 방정식은 공통근이 없으므로 실근의 개수를 각각 세어 더하면 됩니다.
극솟값이 0이므로 직선 y=−k(k>0)는 y=f(x)의 그래프와 왼쪽 가지에서 딱 한 번 만납니다. 즉 f(x)=−k는 항상 실근 1개입니다. 따라서 전체가 3개가 되려면 f(x)=k의 실근이 정확히 2개여야 하고, 이는 직선 y=k가 극대점 또는 극소점을 지날 때, 곧 k=32 또는 k=0일 때입니다. k>0이므로 k=32입니다. 그래프를 접어 그리지 않고도 개수를 셀 수 있는 방법입니다.
실수를 줄이는 전략
- 절댓값을 잊고 y=f(x)와 y=k의 교점만 세면 “3개인 k는 0<k<32 전체”라는 잘못된 결론에 이릅니다. 반드시 |f(x)|의 그래프로 세어야 합니다.
- f(x)<0인 구간은 x<−4뿐입니다. x=2 근처는 x축에 접할 뿐 아래로 내려가지 않으므로 접어 올릴 부분이 없습니다.
- k=0이면 |f(x)|=0, 즉 f(x)=0이 되어 실근은 x=−4, x=2의 2개뿐입니다. 경계값을 따로 점검하세요.
- 극값을 구한 뒤 f(x)=(x+4)(x−2)2처럼 인수분해해 두면 x절편과 접점이 한눈에 보여 그래프가 정확해집니다.