빈출 유형
부등식의 증명
구간에서의 최솟값
출제의도
이 문항은 “x≥0인 모든 실수 x에 대하여 f(x)≥0″이라는 조건을 “x≥0에서 f(x)의 최솟값이 0 이상”이라는 조건으로 바꿀 수 있는지 확인합니다.
정의역이 x≥0으로 제한되어 있으므로, 도함수로 찾은 극값 중 구간 안에 있는 것만 고르고 구간의 끝 x=0에서의 값까지 함께 비교하는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
어떤 구간의 모든 x에 대하여 f(x)≥0이 성립하려면, 그 구간에서 f(x)의 가장 작은 값이 0보다 작지 않으면 됩니다. 먼저 x≥0에서 f(x)의 최솟값을 구하는 문제로 바꿔 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
f′(x)=3x2−6x−9=3(x+1)(x−3)이므로 극값을 갖는 x는 −1과 3입니다.
이 가운데 x=−1은 x≥0 범위 밖에 있으므로 고려하지 않습니다. x≥0에서는 0≤x<3일 때 감소, x>3일 때 증가하므로 x=3에서 최솟값을 가집니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
f(3)을 k로 나타낸 뒤 (최솟값)≥0인 부등식을 풀면 k의 범위가 나옵니다. 구하는 값이 k의 최솟값이라는 점을 확인하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ 27
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A도함수로 극값 후보 찾기
f(x)=x3−3x2−9x+k라 하면 f′(x)=3(x+1)(x−3)이므로 f′(x)=0에서 x=−1 또는 x=3입니다. 이 중 x≥0에 속하는 것은 x=3뿐입니다.
STEP Bx≥0에서 최솟값 구하기
0≤x<3에서 f(x)는 감소하고 x>3에서 증가하므로, x≥0에서 f(x)는 x=3에서 최솟값 f(3)=27−27−27+k=k−27을 갖습니다. 끝점의 값 f(0)=k는 k−27보다 크므로 최솟값이 될 수 없습니다.
STEP C부등식 조건으로 k 구하기
모든 x≥0에서 f(x)≥0이려면 k−27≥0, 즉 k≥27이어야 합니다. 따라서 실수 k의 최솟값은 27이고 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · k를 분리해 그래프와 직선으로
부등식을 k≥−x3+3x2+9x로 바꾸고 g(x)=−x3+3x2+9x라 두면, 조건은 “x≥0에서 k가 g(x)의 최댓값 이상”이 됩니다. 즉, 직선 y=k가 x≥0 부분의 곡선 y=g(x)보다 항상 위에 있거나 닿기만 하면 됩니다.
g′(x)=−3(x+1)(x−3)이므로 x≥0에서 g(x)는 x=3에서 최댓값 g(3)=−27+27+27=27을 갖고, 따라서 k≥27입니다. k가 들어 있는 식을 한쪽으로 분리하면 그래프가 k에 따라 움직이지 않아 판단이 쉬워지고, 이후 k가 여러 곳에 흩어진 복잡한 문제에서도 그대로 쓸 수 있는 방법입니다.
실수를 줄이는 전략
- f′(x)=0의 근 x=−1은 x≥0 범위 밖입니다. x=−1에서의 극댓값을 계산해 비교하면 불필요한 계산이 늘고 판단이 흔들릴 수 있으니, 먼저 구간 안의 근만 골라내세요.
- 구간에 끝점이 있으면 끝점의 값도 최솟값 후보입니다. 이 문항은 f(0)=k가 f(3)=k−27보다 커서 영향이 없지만, 끝점 비교를 생략하는 습관은 다른 문항에서 오답으로 이어집니다.
- f(3)=27−27−27+k에서 부호를 놓쳐 k−9나 k+27로 쓰는 실수가 많습니다. 항마다 33=27, 3·32=27, 9·3=27을 차례로 확인하세요.
- 부등식이 k−27≥0으로 등호를 포함하므로 k=27도 조건을 만족시킵니다. 최솟값을 28로 착각하지 않도록 등호의 포함 여부를 확인하세요.