고난도
함수의 극대·극소
절댓값과 연속성
출제의도
이 문항은 극한 조건에서 함숫값, 미분계수, 다항함수의 차수를 읽어 내고, 절댓값이 들어간 관계식에서 연속성 조건을 끌어낼 수 있는지 확인합니다. 조건 (가)에서 f(0)=3, f′(0)=4와 g(x)의 차수가 5 이하라는 정보를 얻고, 조건 (나)로 f(x)의 식을 결정한 뒤 그래프를 그려 극값을 구합니다.
핵심은 |x+1| 때문에 x=−1의 좌우에서 f(x)의 식의 부호가 바뀐다는 점입니다. 여기에 f(x)가 x=−1에서 연속이라는 조건을 적용하면 숨어 있던 조건 h(−1)=0이 드러나고, 이것이 식을 완성하는 열쇠가 됩니다.
단계별 힌트
조건 (가)의 첫 번째 극한은 분모가 0으로 가는데 극한값이 존재하는 꼴입니다. 분자 f(x)−3은 어떤 값에 가까워져야 하는지, 그리고 이 극한이 미분계수의 정의와 어떻게 연결되는지 생각해 보세요.
두 번째 극한 limx→∞g(x)x6+1=0은 다항함수 g(x)의 차수에 대해 무엇을 알려 주는지도 함께 떠올려 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
조건 (가)에서 f(0)=3, f′(0)=4이고, g(x)의 차수는 5 이하이므로 g′(x)는 사차 이하의 다항식입니다.
조건 (나)에 x=0, x=−1을 대입하면 g′(0)=0, g′(−1)=0입니다. 따라서 이차 이하의 다항식 h(x)에 대하여 g′(x)=x(x+1)h(x)로 놓을 수 있습니다. 이제 x≠0, x≠−1일 때 f(x)=x(x+1)h(x)x|x+1|에서 |x+1|의 부호가 x=−1의 좌우에서 어떻게 달라지는지 따져 보세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
x=−1에서의 우극한은 h(−1), 좌극한은 −h(−1)입니다. f(x)가 x=−1에서 연속이므로 h(−1)=−h(−1), 즉 h(−1)=0이고 h(x)=(x+1)(ax+b)로 놓을 수 있습니다.
x>−1에서 f(x)=(x+1)(ax+b)이므로 f(0)=3, f′(0)=4를 이용해 a, b를 구하세요. 마지막으로 x<−1인 부분까지 포함해 y=f(x)의 그래프를 그리고, 극댓값과 극솟값의 합을 구하면 됩니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ⑤ 1
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건 (가)에서 f(0), f′(0), g(x)의 차수 읽기
x→0일 때 분모가 0으로 가고 극한값이 존재하므로 분자도 0으로 가야 합니다. f(x)가 연속이므로 f(0)=3이고, limx→0f(x)−f(0)x=4에서 f′(0)=4입니다. 또 limx→∞g(x)x6+1=0에서 g(x)의 차수는 5 이하이므로 g′(x)는 사차 이하입니다.
STEP B조건 (나)로 g′(x)의 인수 찾기
x|x+1|f(x)=g′(x)에 x=0, x=−1을 대입하면 g′(0)=0, g′(−1)=0입니다. 따라서 이차 이하의 다항식 h(x)에 대하여 g′(x)=x(x+1)h(x)로 놓을 수 있습니다.
STEP Cx=−1에서의 연속성으로 h(−1)=0 얻기
x≠0, x≠−1일 때 f(x)=x(x+1)h(x)x|x+1|이므로 x>−1이면 f(x)=h(x), x<−1이면 f(x)=−h(x)입니다. 따라서 x=−1에서의 우극한은 h(−1), 좌극한은 −h(−1)이고, 연속 조건에서 f(−1)=h(−1)=−h(−1)이므로 f(−1)=h(−1)=0입니다. 즉 h(x)=(x+1)(ax+b)입니다.
STEP Df(0)=3, f′(0)=4로 a, b 결정하기
x>−1에서 f(x)=(x+1)(ax+b)이므로 f(0)=b=3입니다. 또 f′(0)=limx→0(x+1)(ax+3)−3x=limx→0{ax+(a+3)}=a+3=4에서 a=1입니다. 따라서 x≥−1일 때 f(x)=(x+1)(x+3), x<−1일 때 f(x)=−(x+1)(x+3)입니다.
STEP E그래프를 그려 극값의 합 구하기
x<−1에서 y=−(x+1)(x+3)은 위로 볼록한 포물선이고 꼭짓점이 (−2, 1)이므로 x=−2에서 극댓값 1을 갖습니다. x=−1에서는 f(−1)=0이고 왼쪽에서 감소하다가 오른쪽에서 증가하므로 극솟값 0을 갖습니다. 따라서 극댓값과 극솟값의 합은 1+0=1이고, 정답은 ⑤입니다.
1등급 다른 풀이 · h(x)에 대한 세 조건으로 한 번에 결정
STEP C까지 오면 f(x)는 x>−1에서 h(x), x<−1에서 −h(x)인 함수입니다. 즉 이차 이하의 다항식 h(x) 하나만 정하면 f(x) 전체가 결정됩니다. h(x)=px2+qx+r로 놓고 조건을 모두 h에 대한 조건으로 바꾸면 다음 세 개가 됩니다. x=0 근처에서는 f(x)=h(x)이므로 f(0)=3에서 h(0)=r=3, f′(0)=4에서 h′(0)=q=4이고, x=−1에서의 연속 조건에서 h(−1)=p−q+r=0이므로 p=1입니다.
따라서 h(x)=x2+4x+3=(x+1)(x+3)이고, y=f(x)의 그래프는 포물선 y=h(x)에서 x<−1인 부분만 x축에 대하여 대칭이동한 모양입니다. h(x)의 꼭짓점 (−2, −1)이 뒤집혀 (−2, 1)이 극대점이 되고, 뒤집히는 경계인 x=−1에서 그래프가 꺾이며 극솟값 0이 생깁니다. 인수 (x+1)(ax+b)를 따로 놓지 않고 미정계수 세 개를 세 조건으로 바로 구할 수 있어 계산이 짧아집니다.
실수를 줄이는 전략
- x(x+1)h(x)x|x+1|을 약분할 때 |x+1|을 x+1로 그대로 지우면 안 됩니다. x<−1에서는 |x+1|=−(x+1)이므로 부호가 바뀌고, 바로 이 부호 차이에서 h(−1)=0이라는 결정적 조건이 나옵니다.
- limx→∞g(x)x6+1=0은 g(x)의 차수가 6 미만, 즉 5 이하라는 뜻입니다. 이 제한이 있어야 g′(x)가 사차 이하, h(x)가 이차 이하로 정해지고 미정계수의 개수가 조건의 개수와 맞아떨어집니다.
- f(x)는 x=−1에서 미분가능하지 않지만 극솟값은 존재합니다. 극값은 미분가능성과 관계없이 좌우에서 증가·감소가 바뀌는지로 판단하세요. 이 문항은 극솟값이 0이라 빠뜨려도 합이 같게 나오지만, 이런 우연에 기대면 다른 문항에서 틀립니다.
- x<−1인 부분의 식은 −(x+1)(x+3)입니다. 부호를 놓쳐 (x+1)(x+3) 그대로 그리면 x=−2에서 극솟값 −1로 착각해 오답 ③을 고르게 됩니다. 꼭짓점 x=−2가 x<−1 범위 안에 있는지도 함께 확인하세요.
- f(0)=3은 분자가 0으로 가야 한다는 조건과 f(x)의 연속성을 함께 써서 얻는 값입니다. 극한값 4를 곧바로 f(0)으로 착각하지 않도록 주의하세요.
엄선된 풀이 영상
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