고난도
평균값 정리
무리식의 극한
출제의도
이 문항은 평균값 정리의 등식 f(t)−f(0)=tf′(c)를 실제 식으로 계산해 c를 t에 대한 식으로 나타내고, 그 식으로 극한을 구할 수 있는지 확인합니다. 평균값 정리를 “존재한다”는 정리로만 외운 학생과, 등식을 방정식으로 바꿔 직접 풀어 본 학생의 차이가 드러나는 문항입니다.
핵심은 두 가지입니다. 이차방정식의 두 근 중 0<c<t를 만족하는 근을 정확히 골라 h(t)로 정하는 것, 그리고 h(t)t가 00 꼴이므로 분자를 유리화해 극한값을 구하는 것입니다.
단계별 힌트
주어진 등식은 구간 [0, t]에서의 평균값 정리를 그대로 옮긴 식입니다. 정리를 떠올리는 데서 멈추지 말고, f(t)−f(0)과 f′(c)를 실제로 계산해 양변에 넣어 보세요. c와 t 사이의 관계식이 나옵니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
f(t)−f(0)=t(t2+2t+6)이고 t>0이므로 양변을 t로 나눌 수 있습니다. 그러면 c에 대한 이차방정식 3c2+4c−(t2+2t)=0을 얻습니다.
이 방정식의 두 근 가운데 0<c<t를 만족하는 것이 h(t)입니다. 두 근의 곱이 −t2+2t3<0이라는 점을 보면 어느 근을 골라야 할지 알 수 있습니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
근의 공식으로 양수인 근을 구해 h(t)로 놓으면 h(t)t는 t→0+일 때 00 꼴입니다. 분자의 √3t2+6t+4−2를 유리화해 3t2+6t를 만든 뒤 t로 약분하고 t=0을 대입하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ 12
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A등식을 c에 대한 이차방정식으로 바꾸기
f′(x)=3x2+4x+6이고 f(t)−f(0)=t3+2t2+6t=t(t2+2t+6)입니다. t>0이므로 f(t)−f(0)=tf′(c)의 양변을 t로 나누면 t2+2t+6=3c2+4c+6, 즉 3c2+4c−(t2+2t)=0입니다.
STEP B0<c<t인 근을 골라 h(t) 정하기
근의 공식에서 c=−2±√3t2+6t+43입니다. 양수인 근 p=√3t2+6t+4−23에 대해 (3t2+6t+4)−22=3t2+6t>0이므로 p>0이고, (3t+2)2−(3t2+6t+4)=6t2+6t>0이므로 t−p>0입니다. 따라서 0<p<t이고 h(t)=√3t2+6t+4−23입니다.
STEP C분자를 유리화해 극한값 구하기
limt→0+h(t)t=limt→0+√3t2+6t+4−23t=limt→0+t+2√3t2+6t+4+2=22+2=12이므로 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · h(t)를 구하지 않고 관계식에서 바로
근의 공식을 쓰지 않아도 됩니다. c=h(t)는 3c2+4c=t2+2t를 만족하므로 좌변을 c(3c+4)로 묶고 양변을 t로 나누면 h(t)t·(3h(t)+4)=t+2, 즉 h(t)t=t+23h(t)+4입니다.
그런데 0<h(t)<t이므로 t→0+일 때 h(t)→0입니다. 따라서 극한값은 0+20+4=12로 곧바로 나옵니다. 근을 고르는 과정도 두 근의 곱이 −t2+2t3<0이라 양수인 근이 하나뿐이라는 점으로 줄일 수 있습니다. 평균값 정리가 (0, t)에 c가 적어도 하나 있음을 보장하므로, 그 유일한 양수 근이 h(t)입니다.
참고로 f″(0)≠0인 다항함수라면 구간이 짧아질수록 평균값 정리의 c는 구간의 한가운데로 다가가서 h(t)t→12이 됩니다. 이 문항의 답 12이 바로 그 현상입니다.
실수를 줄이는 전략
- 두 근 중 음수 근 −2−√3t2+6t+43을 h(t)로 잡으면 h(t)t는 −∞로 발산합니다. 조건 0<c<t를 확인해 양수인 근을 고르세요.
- h(t)에는 분모 3이 있으므로 h(t)t의 분모는 t가 아니라 3t입니다. 유리화한 뒤 분자 3t2+6t=3t(t+2)에서 3까지 함께 약분해야 t+2√3t2+6t+4+2가 됩니다.
- 양변을 t로 나눌 수 있는 근거는 t>0이라는 조건입니다. f(0)=0이라 f(t)−f(0)=f(t)가 된다는 점도 계산 전에 확인하면 식이 간단해집니다.
- 유리화 없이 t=0을 대입하면 00이 되어 값을 정할 수 없습니다. 분자의 √3t2+6t+4−2에 √3t2+6t+4+2를 곱해 0으로 가는 인수 t를 먼저 드러내세요.
엄선된 풀이 영상
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