빈출 유형
닫힌구간에서의 최대·최소
증가와 감소표
출제의도
이 문항은 닫힌구간에서 연속인 함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 기본 절차를 정확히 밟을 수 있는지 확인합니다. 도함수로 극값 후보를 찾고, 구간의 양 끝값과 함께 비교하는 것이 전부입니다.
핵심은 f′(x)=0의 해 중에서 주어진 구간 [−2, 2] 안에 있는 것만 후보로 남기는 것입니다. 구간 밖의 x=−4까지 계산에 넣으면 엉뚱한 값이 섞입니다.
단계별 힌트
닫힌구간에서 연속인 함수는 반드시 최댓값과 최솟값을 가집니다. 그 값이 나올 수 있는 위치는 어디어디일지 떠올려 보세요. 극값만 볼 것인지, 구간의 끝도 볼 것인지가 관건입니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
f′(x)=6x2+18x−24를 인수분해해 f′(x)=0인 x를 구하세요. 두 해 가운데 구간 [−2, 2]에 들어가는 값은 하나뿐입니다.
구간 안의 극값 후보와 양 끝점 x=−2, x=2, 이렇게 세 점에서의 함숫값을 비교하면 최댓값과 최솟값이 결정됩니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
f(−2), f(1), f(2)를 각각 계산해 가장 큰 값과 가장 작은 값을 고르세요. 마지막으로 구하는 값이 두 값의 합이라는 점을 확인하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① 41
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A도함수로 극값 후보 찾기
f′(x)=6x2+18x−24=6(x+4)(x−1)이므로 f′(x)=0에서 x=−4 또는 x=1입니다. 이 중 구간 [−2, 2] 안에 있는 것은 x=1뿐입니다.
STEP B증가와 감소 확인하기
−2<x<1에서 f′(x)<0이므로 감소하고, 1<x<2에서 f′(x)>0이므로 증가합니다. 따라서 x=1에서 극소이자 최소입니다.
STEP C후보의 함숫값 비교하기
f(−2)=−16+36+48−7=61, f(1)=2+9−24−7=−20, f(2)=16+36−48−7=−3입니다. 최댓값은 61, 최솟값은 −20입니다.
STEP D합 계산하기
61+(−20)=41이므로 정답은 ①입니다.
1등급 다른 풀이 · 끝값 비교는 홀수 차수 항만으로
증가와 감소표에서 [−2, 1]에서 감소, [1, 2]에서 증가이므로 최솟값은 f(1)=−20으로 바로 정해지고, 최댓값은 양 끝값 f(−2)와 f(2) 중 큰 값입니다.
이때 두 끝값을 모두 계산하지 않고 차이만 보면 됩니다. f(−2)와 f(2)를 비교할 때 짝수 차수 항 9x2과 상수항 −7은 값이 같아 지워지므로, 홀수 차수 부분 g(x)=2x3−24x만 보면 f(−2)−f(2)=g(−2)−g(2)=−2g(2)=−2×(16−48)=64>0입니다. 따라서 f(−2)가 더 크고, f(−2)=61만 계산하면 됩니다. −a와 a처럼 대칭인 두 점을 비교할 때 자주 쓰는 요령입니다.
실수를 줄이는 전략
- f′(x)=0의 해 x=−4는 구간 [−2, 2] 밖에 있으므로 후보에서 제외해야 합니다. 구간을 먼저 확인하는 습관을 들이세요.
- 극솟값 −20만 보고 끝나면 안 됩니다. 닫힌구간의 최대·최소는 반드시 양 끝값까지 함께 비교해야 합니다.
- f(−2)를 계산할 때 2×(−2)3=−16, −24×(−2)=+48처럼 부호가 여러 번 바뀝니다. 항마다 부호를 따로 적어 두면 실수가 줄어듭니다.
- 구하는 값은 최댓값과 최솟값의 합입니다. 61−20을 계산한 뒤 무엇을 묻는지 다시 확인하세요.