빈출 유형
접선의 기울기와 미분계수
수직인 두 직선의 기울기
출제의도
이 문항은 곡선 위의 한 점에서의 접선의 기울기가 그 점에서의 미분계수라는 사실과, 서로 수직인 두 직선의 기울기의 곱이 −1이라는 성질을 연결할 수 있는지 확인합니다. 곡선이 점 (−1, 3)을 지난다는 조건으로 a를 먼저 결정해야 f′(−1)을 계산할 수 있습니다.
문제 속 ‘수직인 직선’은 점 (−1, 3)을 지나는 직선이 아니라 기울기만 정해진 직선이라는 점을 정확히 읽는 것이 핵심입니다. 이 직선이 지나는 두 점 (0, 3), (1, b)로 기울기를 표현해 b를 구합니다.
단계별 힌트
곡선 y=x3+ax2+1이 점 (−1, 3)을 지난다는 사실에서 a를 구할 수 있습니다. 그다음 이 점에서의 접선의 기울기를 어떤 값으로 나타낼 수 있을지 떠올려 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
f(x)=x3+ax2+1이라 하면 점 (−1, 3)에서의 접선의 기울기는 f′(−1)입니다.
기울기가 m(m≠0)인 직선에 수직인 직선의 기울기는 −1m입니다. 두 기울기의 곱이 −1이 되어야 합니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
f′(−1)을 계산해 수직인 직선의 기울기를 정한 뒤, 두 점 (0, 3), (1, b)를 지나는 직선의 기울기 b−31−0과 같다고 놓으세요. 마지막으로 구하는 값이 a+b라는 점을 확인하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ④ 193
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A곡선이 지나는 점으로 a 구하기
곡선이 점 (−1, 3)을 지나므로 3=−1+a+1이고, a=3입니다. 따라서 f(x)=x3+3x2+1입니다.
STEP B접선의 기울기와 수직인 기울기 구하기
f′(x)=3x2+6x이므로 f′(−1)=3−6=−3입니다. 접선의 기울기가 −3이므로 이 접선과 수직인 직선의 기울기는 13입니다.
STEP C두 점을 지나는 직선의 기울기로 b 구하고 a+b 계산하기
두 점 (0, 3), (1, b)를 지나는 직선의 기울기가 13이므로 b−31−0=13에서 b=103입니다. 따라서 a+b=3+103=193이므로 정답은 ④입니다.
1등급 다른 풀이 · x좌표 차가 1인 두 점으로 수직 조건을 한 줄에
두 점 (0, 3), (1, b)는 x좌표의 차가 1이므로 이 직선의 기울기는 곧 y좌표의 차인 b−3입니다. 따라서 분수로 기울기를 쓰는 과정 없이 수직 조건을 f′(−1)×(b−3)=−1, 즉 (−3)×(b−3)=−1로 바로 세울 수 있고, b−3=13에서 b=103이 나옵니다.
또한 이 직선이 점 (−1, 3)을 지나지 않는다는 것도 확인할 수 있습니다. 만약 (−1, 3)을 지난다면 y좌표가 같은 점 (0, 3)도 지나므로 기울기가 0이어야 하는데, 수직인 직선의 기울기 13과 모순입니다. 조건을 읽을 때 이런 식으로 짧게 검증하면 문장 해석 실수를 줄일 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 접선의 기울기 −3에 수직인 직선의 기울기는 13입니다. 부호를 놓쳐 −13로 쓰면 b=83이 되어 a+b=173, 즉 오답 ②를 고르게 됩니다.
- f′(−1)=3−2a처럼 a가 남은 채로는 기울기를 정할 수 없습니다. 곡선이 점 (−1, 3)을 지난다는 조건으로 a=3을 먼저 구하세요.
- 수직인 직선이 점 (−1, 3)을 지난다고 착각하지 마세요. 이 문제에서 필요한 것은 기울기뿐이며, 직선이 지나는 점은 (0, 3)과 (1, b)입니다.
- 구하는 값은 b가 아니라 a+b입니다. b=103을 구한 뒤 a=3을 더하는 것을 잊지 마세요.