빈출 유형
두 곡선의 공통인 접선
곱의 미분법
출제의도
이 문항은 한 직선이 두 곡선에 동시에 접할 때, 접점이 같다면 ‘함숫값이 같다’와 ‘미분계수가 같다’는 두 조건이 동시에 성립한다는 것을 식으로 옮길 수 있는지 확인합니다. 곡선 y=(2x3−x)f(x)의 미분계수는 곱의 미분법으로 구해야 합니다.
두 접점의 x좌표가 모두 1이고 접선이 같은 직선이므로 두 접점은 같은 점입니다. 여기서 f(1)=4를 얻고, 미분계수 조건에서 f′(1)을 구하는 흐름이 핵심입니다.
단계별 힌트
먼저 곡선 y=ax3+2x가 점 (1, 4)를 지난다는 조건으로 a를 구하세요. 그다음 ‘한 직선이 두 곡선의 x=1인 점에서 동시에 접한다’면 어떤 두 값이 서로 같아야 하는지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
g(x)=ax3+2x, h(x)=(2x3−x)f(x)로 놓으면, 같은 직선이 x=1인 점에서 두 곡선에 접하므로 두 접점 (1, 4)와 (1, f(1))은 같은 점이고, 두 곡선의 x=1에서의 접선의 기울기도 같습니다. 즉 f(1)=4이고 g′(1)=h′(1)입니다.
h′(x)는 곱의 미분법 {u(x)f(x)}′=u′(x)f(x)+u(x)f′(x)를 이용해 구합니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
h′(1)을 f(1)과 f′(1)로 나타낸 뒤, f(1)=4와 g′(1)의 값을 대입해 f′(1)을 구하세요. 2×13−1과 6×12−1의 값을 정확히 계산하는 것이 중요합니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① −12
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Aa를 구하고 g′(1) 계산하기
곡선 y=g(x)가 점 (1, 4)를 지나므로 4=a+2에서 a=2입니다. g(x)=2x3+2x이므로 g′(x)=6x2+2이고 g′(1)=8입니다.
STEP B접점이 같다는 조건으로 f(1) 구하기
두 접점 (1, 4), (1, f(1))은 같은 직선 위의 x좌표가 같은 점이므로 같은 점입니다. 따라서 f(1)=4이고, h(1)=(2−1)f(1)=f(1)=4로 두 곡선의 함숫값도 일치합니다.
STEP C곱의 미분법으로 h′(1)을 구해 f′(1) 계산하기
h′(x)=(6x2−1)f(x)+(2x3−x)f′(x)이므로 h′(1)=5f(1)+f′(1)입니다. g′(1)=h′(1)에서 8=5×4+f′(1)이므로 f′(1)=−12이고, 정답은 ①입니다.
1등급 다른 풀이 · 곱의 미분법을 ‘비율’로 보기
u(x)=2x3−x로 놓으면 h(x)=u(x)f(x)이고, h′(1)=u′(1)f(1)+u(1)f′(1)입니다. h(1)=u(1)f(1)=4≠0이므로 양변을 h(1)로 나누면 h′(1)h(1)=u′(1)u(1)+f′(1)f(1)라는 식을 얻습니다.
여기에 h′(1)h(1)=84=2, u′(1)u(1)=51=5, f(1)=4를 대입하면 2=5+f′(1)4이므로 f′(1)=−12입니다. 곱으로 된 함수의 미분계수를 다룰 때 ‘미분계수÷함숫값’이 더해지는 구조를 알아 두면 인수가 많을 때 특히 빠릅니다. 단, 함숫값이 0이 아닐 때만 쓸 수 있다는 점에 주의하세요.
실수를 줄이는 전략
- 곱의 미분법에서 한 항만 쓰는 실수가 많습니다. h′(x)=(6x2−1)f′(x)처럼 쓰면 안 되고, (앞의 미분)×(뒤)+(앞)×(뒤의 미분)의 두 항을 모두 써야 합니다.
- ‘접선이 같다’를 기울기만 같다고 해석하면 f(1), f′(1) 두 미지수에 식이 하나뿐이라 풀리지 않습니다. 두 접점이 같은 점이므로 f(1)=4라는 조건을 반드시 함께 사용하세요.
- x=1을 대입할 때 2×13−1=1, 6×12−1=5입니다. 특히 h(1)=f(1)이 되는 이유가 2x3−x의 값이 1이기 때문임을 확인하세요.
- a는 곡선 y=ax3+2x가 점 (1, 4)를 지난다는 조건으로 먼저 구해야 g′(1)=8을 얻을 수 있습니다.