고난도
미분가능성과 연속성
원 위의 점까지 거리의 최대·최소
출제의도
이 문항은 원 밖의 점 P와 원 위의 점 Q 사이의 거리가 직선 OP 위에서 최대·최소가 된다는 도형의 성질로 g(t)를 식으로 나타내고, 구간별로 정의된 함수가 경계점에서 미분가능한지 판단할 수 있는지 확인합니다.
핵심은 두 가지입니다. 첫째, M(t)−m(t)=4OP로 정리되어 g(t)=16{t2+(f(t))2}이라는 간단한 식이 된다는 점입니다. 둘째, 경계점 t=±1에서 g(t)가 연속조차 아니므로 미분가능하지 않다는 점을 먼저 확인하는 것입니다.
단계별 힌트
점 P는 원 x2+y2=1 밖에 있습니다. 원 밖의 한 점에서 원 위의 점까지의 거리는 언제 가장 길고, 언제 가장 짧을까요? 원의 중심 O와 점 P를 잇는 직선을 그려 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
직선 OP가 원과 만나는 두 점 중 P에서 먼 점까지의 거리가 최댓값 OP+1, 가까운 점까지의 거리가 최솟값 OP−1입니다. 따라서 M(t)=(OP+1)2, m(t)=(OP−1)2입니다.
두 식의 차는 합차 공식으로 간단해집니다. g(t)를 OP2=t2+(f(t))2으로 나타내 보세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
f(t)의 식이 |t|≤1과 |t|>1에서 다르므로 g(t)도 두 식으로 나뉩니다. 식이 바뀌는 t=1과 t=−1에서 g(t)의 좌극한과 우극한을 비교해 보세요. 연속이 아니면 미분가능하지 않습니다.
이렇게 a를 구한 뒤, a−12과 a+32이 각각 어느 구간에 속하는지 확인하고 그 구간의 도함수에 대입하면 됩니다.
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정답 248
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A거리의 최대·최소를 OP로 나타내기
직선 OP가 원과 만나는 두 점 중 P에 가까운 점을 Q1, 먼 점을 Q2라 하면 PQ1≤PQ≤PQ2입니다. 따라서 M(t)=(OP+1)2, m(t)=(OP−1)2이고, M(t)−m(t)=4OP이므로 g(t)=16OP2=16{t2+(f(t))2}입니다.
STEP B구간별로 g(t) 구하기
|t|≤1이면 f(t)=2이므로 g(t)=16(t2+4)입니다. |t|>1이면 f(t)=−t2이므로 g(t)=16(t4+t2)입니다. 두 식은 모두 다항식이므로 |t|<1, |t|>1에서는 미분가능합니다.
STEP C경계점 t=±1에서 미분가능성 판단하기
g(1)=g(−1)=80이지만 limt→1+g(t)=16(1+1)=32입니다. 따라서 limt→1+{g(t)−g(1)}=−48≠0이 되어 t=1에서 연속이 아니므로 미분가능하지 않습니다. t=−1에서도 limt→−1−g(t)=32로 같은 상황입니다. 그러므로 a=−1+1=0입니다.
STEP D도함수에 대입해 값 구하기
−1<t<1에서 g′(t)=32t, |t|>1에서 g′(t)=32(2t3+t)입니다. a=0이므로
g′(−12)=32×(−12)=−16, g′(32)=32×{2×(32)3+32}=264
따라서 구하는 값은 −16+264=248입니다.
1등급 다른 풀이 · 대칭성과 불연속으로 계산 줄이기
f(x)는 |x|로만 정의된 우함수이므로 g(t)=16{t2+(f(t))2}도 우함수입니다. 우함수의 그래프는 y축에 대하여 대칭이므로, t=1에서 미분가능하지 않으면 t=−1에서도 미분가능하지 않습니다. 따라서 t=1 한 곳만 조사하면 미분가능하지 않은 점은 ±1로 짝지어 나오고, 그 합 a는 계산할 필요 없이 0입니다.
t=1에서 조사할 것도 미분계수 극한이 아니라 연속 여부입니다. f(t)가 t=1에서 2에서 −1로 끊기므로 (f(t))2도 4에서 1로 끊기고, g(t)는 16×3=48만큼 뛰어 불연속입니다. “연속이 아니면 미분가능하지 않다”를 쓰면 좌미분계수와 우미분계수를 따로 계산하지 않아도 됩니다. 마지막으로 두 식을 미분할 때는 g′(t)=32t+32(f(t))·f′(t)로 한 번에 생각하면, |t|>1에서 f′(t)=−2t이므로 32t+32t3·2=32(2t3+t)가 곧바로 나옵니다.
실수를 줄이는 전략
- m(t)=(OP−1)2은 점 P가 원 밖에 있을 때만 성립합니다. 이 문항에서는 |t|≤1이면 OP≥2, |t|>1이면 OP>√2이므로 항상 원 밖에 있다는 것을 한 번 확인하고 넘어가세요.
- g(t)는 M(t)−m(t)를 제곱한 것입니다. M(t)−m(t)=4OP에서 멈추지 말고 제곱해서 16OP2으로 만들어야 근호 없는 다항식이 됩니다.
- |t|≤1에서 f(t)=2이므로 (f(t))2=4입니다. t2+2로 쓰는 실수가 잦으니 제곱을 빠뜨리지 마세요.
- a=0이므로 a−12=−12은 −1<t<1 구간, a+32=32은 t>1 구간입니다. 각 값이 속한 구간의 도함수를 골라 대입해야 합니다.
- (32)3=278이므로 2×278+32=334, 여기에 32를 곱하면 264입니다. 분수 계산을 끝까지 정리한 뒤 곱하면 실수가 줄어듭니다.
엄선된 풀이 영상
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