빈출 유형
연속함수의 성질
구간별로 정의된 함수
출제의도
이 문항은 함수 1f(x)이 실수 전체에서 연속이 되기 위한 조건을 두 가지로 나누어 생각할 수 있는지 확인합니다. f(x)가 실수 전체에서 연속이어야 하고, 동시에 f(x)가 0이 되는 곳이 한 군데도 없어야 합니다.
연속 조건에서 c가 먼저 결정되고, “0이 되지 않는다”는 조건을 x≤0인 부분과 x>0인 부분으로 나누어 a, b의 부호와 a2<4b를 얻어 내는 것이 핵심입니다. 마지막에는 a, b, c가 집합 A의 서로 다른 원소라는 조건을 빠뜨리지 않고 순서쌍을 세야 합니다.
단계별 힌트
두 연속함수의 몫 g(x)f(x)은 분모가 0이 아닌 곳에서 연속입니다. 그렇다면 1f(x)이 실수 전체에서 연속이려면 f(x)에 대해 어떤 두 가지 조건이 필요할지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
① f(x)가 연속이려면 두 식이 바뀌는 x=0에서 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 같아야 합니다. 이 조건에서 c가 결정됩니다.
② x≤0에서 직선 y=ax+1은 f(0)=1에서 출발합니다. x가 음수 쪽으로 갈 때 x축과 만나지 않으려면 기울기 a의 부호가 어때야 할까요?
③ x>0에서 y=bx2+ax+1도 값 1에서 출발합니다. 한 번도 0이 되지 않으려면 계속 양수여야 하므로, 포물선이 아래로 볼록해야 하고(b의 부호) 꼭짓점의 y좌표도 양수여야 합니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
꼭짓점의 y좌표가 양수라는 조건을 정리하면 a2과 4b의 대소 관계가 나옵니다. 이제 a가 될 수 있는 음수 −3, −2, −1 각각에 대해 b를 찾으세요. 이때 c에 이미 쓰인 원소는 b가 될 수 없다는 점을 확인하고 순서쌍의 개수를 세면 됩니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ④ 5
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건을 두 가지로 바꾸고 연속 조건으로 c 구하기
1f(x)이 실수 전체에서 연속이려면 f(x)가 실수 전체에서 연속이고, 모든 실수 x에 대하여 f(x)≠0이어야 합니다. x=0에서 좌극한은 1, 우극한은 c, f(0)=1이므로 c=1입니다.
STEP Bf(x)≠0 조건으로 a, b의 범위 구하기
x≤0에서 f(x)=ax+1이 0이 되지 않으려면 a<0이어야 합니다. x>0에서는 f(x)=bx2+ax+1이 1에서 출발하므로 항상 양수여야 하고, 따라서 b>0입니다. 이때 축 x=−a2b가 양수 쪽에 있으므로 꼭짓점의 y좌표 −a24b+1이 양수여야 하고, 이를 정리하면 a2<4b입니다.
STEP C서로 다른 원소 조건을 지키며 순서쌍 세기
a는 −3, −2, −1 중 하나이고, b는 양수이면서 c=1과 달라야 하므로 2 또는 3입니다. a=−1이면 b=2, 3이 모두 가능하고, a=−2이면 4<4b에서 b=2, 3이 가능하며, a=−3이면 9<4b에서 b=3만 가능합니다. 따라서 순서쌍은 (−1, 2, 1), (−1, 3, 1), (−2, 2, 1), (−2, 3, 1), (−3, 3, 1)의 5개이고 정답은 ④입니다.
1등급 다른 풀이 · 근과 계수의 관계로 판별식 하나만 확인하기
x>0에서 bx2+ax+1=0이 양의 실근을 갖지 않을 조건을 꼭짓점 대신 근의 부호로 판단할 수 있습니다. 두 근의 곱이 1b이므로, b<0이면 두 근의 부호가 반대여서 양의 실근이 반드시 생깁니다. 그래서 b>0이어야 합니다.
b>0이고 a<0이면 두 근의 합 −ab와 곱 1b이 모두 양수입니다. 즉 실근이 있다면 두 근이 모두 양수이므로, 양의 실근이 없으려면 실근 자체가 없어야 합니다. 판별식 a2−4b<0 하나만 확인하면 a2<4b가 곧바로 나옵니다. 축의 위치를 따지고 꼭짓점을 계산하는 과정을 생략할 수 있어 시험장에서 더 빠릅니다.
실수를 줄이는 전략
- f(x)가 연속이라는 조건만 확인하고 끝내면 안 됩니다. 1f(x)은 f(x)=0인 곳에서 정의되지 않으므로 “f(x)≠0” 조건을 반드시 함께 챙기세요.
- x=0일 때의 함숫값은 등호가 붙은 x≤0 쪽 식 ax+1에 대입해 f(0)=1입니다. 우극한 c와 비교해 c=1을 얻습니다.
- c=1이 정해지는 순간 원소 1은 이미 사용된 것입니다. b>0이라고 해서 b=1까지 세면 순서쌍이 늘어나 오답이 됩니다.
- a2=4b이면 꼭짓점에서 f(x)=0이 되므로 등호는 포함하지 않습니다. a=−3, b=2는 9<8이 성립하지 않아 제외됩니다.
엄선된 풀이 영상
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