빈출 유형
경계점에서의 연속 조건
이차함수의 대칭축
출제의도
이 문항은 식 안에 f(1)이 들어 있는 함수와, 다른 점의 함숫값으로 정의된 함수를 정확히 해석할 수 있는지 확인합니다. f(1)을 a로 나타내고, x>1일 때 f(−x2−a2)를 조건 (가)의 식으로 바꾼 뒤, x=1에서의 연속 조건으로 a를 구합니다.
−x2−a2이 항상 1보다 작다는 사실을 발견하는 것이 출발점이고, 연속 조건에서 나오는 g(1)=g(−1−a2)을 이차함수의 대칭성으로 해석하는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
조건 (가)의 식에 들어 있는 f(1)은 x에 따라 변하지 않는 상수입니다. x=1은 조건 (가)의 범위 x≤1에 포함되므로, 조건 (가)의 식에 x=1을 대입하면 f(1)에 대한 방정식이 생깁니다. 이것으로 f(1)을 a에 대한 식으로 나타내 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
x>1일 때 −x2−a2은 −1보다 작으므로 항상 1 이하입니다. 따라서 f(−x2−a2)은 조건 (가)의 식에 −x2−a2을 대입해 구할 수 있습니다.
x≤1에서의 식을 g(x)=x2+ax−f(1)로 놓으면, x≤1일 때 f(x)=g(x), x>1일 때 f(x)=g(−x2−a2)입니다. f(x)가 연속이므로 x=1에서 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 같아야 합니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
x=1에서의 연속 조건을 정리하면 g(1)=g(−1−a2)이 됩니다. 1과 −1−a2은 서로 다른 수이므로, 이차함수 y=g(x)의 그래프에서 두 점의 함숫값이 같다는 것은 두 x좌표의 중점이 대칭축이라는 뜻입니다. 대칭축의 방정식과 비교해 a를 구한 뒤, 1단계에서 구한 f(1)의 식에 대입하세요. a>0이라는 조건도 잊지 마세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② 1
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Af(1)을 a로 나타내기
조건 (가)에 x=1을 대입하면 f(1)=1+a−f(1)이므로 f(1)=1+a2입니다. 이제 g(x)=x2+ax−1+a2로 놓으면 x≤1일 때 f(x)=g(x)입니다.
STEP Bx>1일 때의 식을 g로 바꾸기
x>1이면 −x2−a2<−1−a2<−1≤1이므로 조건 (나)에서 f(x)=f(−x2−a2)=g(−x2−a2)입니다.
STEP Cx=1에서의 연속 조건 세우기
limx→1−f(x)=g(1), limx→1+f(x)=g(−1−a2), f(1)=g(1)이므로 연속 조건은 g(1)=g(−1−a2)입니다.
STEP D대칭축으로 a 구하고 f(1) 계산하기
1≠−1−a2이고 y=g(x)의 대칭축은 x=−a2이므로, 1+(−1−a2)2=−a2에서 a2=a입니다. a>0이므로 a=1이고, f(1)=1+12=1이므로 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · 차를 인수분해해 대칭축 공식 없이 끝내기
이차함수 g(x)=x2+ax+c에서 서로 다른 두 수 p, q에 대해 g(p)=g(q)이면 g(p)−g(q)=(p−q)(p+q+a)=0이므로 p+q=−a가 성립합니다. 상수항 c는 빼는 과정에서 사라지므로, 식 안의 −f(1)이 무엇인지 몰라도 이 단계는 진행할 수 있습니다.
p=1, q=−1−a2을 대입하면 1+(−1−a2)=−a, 즉 a2=a이고 a>0이므로 a=1입니다. 그다음 f(1)=1+a2=1을 계산하면 됩니다. 교재의 다른 풀이처럼 사차식을 전개할 필요가 없고, “함숫값이 같은 두 점의 합은 −(일차항 계수)”라는 사실 하나로 해결됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 조건 (가)의 f(1)을 미지의 함수처럼 다루면 식이 풀리지 않습니다. f(1)은 상수이므로 x=1을 대입해 f(1)=1+a2을 먼저 구하세요.
- x>1에서 f(−x2−a2)를 조건 (가)의 식으로 바꾸려면 −x2−a2≤1임을 확인해야 합니다. 이 확인 없이 대입하면 풀이의 근거가 빠집니다.
- 우극한을 구할 때 x=1을 x 자리에 바로 넣어 g(1)로 쓰는 실수가 있습니다. 우극한은 g(−x2−a2)에 x→1+를 적용한 g(−1−a2)입니다.
- a2=a에서 a=0도 해이지만 a>0 조건으로 제외됩니다. 또 구하는 값은 a가 아니라 f(1)이므로 마지막에 f(1)=1+a2에 대입하는 것을 잊지 마세요.
엄선된 풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.