빈출 유형
두 함수의 곱의 연속
불연속점 판정
출제의도
이 문항은 “불연속인 함수와 다른 함수를 곱해도 연속이 될 수 있다”는 사실을 이해하고 있는지 확인합니다. 함수 f(x)f(x−1)이 불연속일 수 있는 후보점을 먼저 찾고, 각 후보점에서 좌극한, 우극한, 함숫값을 비교해 연속 여부를 판정합니다.
f(x)가 x=2에서 불연속이면 f(x−1)은 x=3에서 불연속이 된다는 평행이동 관계를 파악하는 것이 출발점이고, 두 후보점 중 어느 쪽을 연속으로 만들 수 있는지 판단하는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
두 함수가 모두 연속인 곳에서는 곱도 연속입니다. 따라서 f(x)f(x−1)이 불연속일 수 있는 곳은 f(x)가 불연속인 곳이거나 f(x−1)이 불연속인 곳뿐입니다. 먼저 f(x)가 x=2에서 연속인지 좌극한, 우극한, 함숫값을 계산해 확인해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
x=2에서 좌극한과 함숫값은 4a+8, 우극한은 8입니다. a=0이면 f(x)가 모든 실수에서 연속이 되어 곱도 모든 실수에서 연속이 됩니다. 이것은 “x=b에서만 불연속”이라는 조건에 맞지 않으므로 a≠0입니다.
그러면 f(x)는 x=2에서만 불연속이고, f(x−1)은 그래프를 오른쪽으로 1만큼 옮긴 것이므로 x=3에서만 불연속입니다. 곱이 불연속일 수 있는 후보는 x=2와 x=3 두 곳입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
불연속점이 하나뿐이어야 하므로 두 후보 중 하나에서는 곱이 연속이어야 합니다. x=2와 x=3 각각에서 x−1=t로 치환해 f(x−1)의 극한을 f(t)의 극한으로 바꾸고, 곱의 좌극한, 우극한, 함숫값을 비교해 보세요. 한쪽에서는 a에 대한 방정식이 나오고, 다른 쪽에서는 a≠0이라는 조건 때문에 항상 불연속이 됩니다. 마지막으로 구하는 값이 |ab|라는 점을 확인하세요.
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정답 12
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Aa≠0임을 확인하기
limx→2−f(x)=f(2)=4a+8, limx→2+f(x)=8입니다. a=0이면 f(x)가 모든 실수에서 연속이 되어 f(x)f(x−1)도 모든 실수에서 연속이므로 조건에 맞지 않습니다. 따라서 a≠0이고 f(x)는 x=2에서만 불연속입니다.
STEP B불연속 후보점 찾기
f(x)는 x=2에서만, f(x−1)은 x=3에서만 불연속입니다. 따라서 f(x)f(x−1)이 불연속일 수 있는 점은 x=2 또는 x=3입니다.
STEP Cx=2에서 연속이 되는 조건 구하기
x−1=t로 놓으면 x→2일 때 t→1이고, f(t)는 t=1 근처에서 at2+4t이므로 극한값은 f(1)=a+4입니다.
좌극한과 함숫값은 (4a+8)(a+4), 우극한은 8(a+4)입니다. 두 값이 같아야 하므로 (4a+8)(a+4)=8(a+4), 즉 4a(a+4)=0이고, a≠0이므로 a=−4입니다.
STEP Dx=3에서 판정하고 |ab| 구하기
x→3일 때 t=x−1→2이므로 좌극한과 함숫값은 f(3)f(2)=11(4a+8), 우극한은 11×8입니다. a≠0이면 4a+8≠8이므로 x=3에서는 항상 불연속입니다.
따라서 a=−4일 때 f(x)f(x−1)은 x=3에서만 불연속이 되어 b=3이고, |ab|=|−4×3|=12입니다.
1등급 다른 풀이 · “불연속 × 0 = 연속”으로 바로 판정
한 함수 g(x)가 x=c에서 좌극한과 우극한이 서로 다른 값으로 끊어져 있고, 다른 함수 h(x)가 x=c에서 연속이면, 곱 g(x)h(x)가 x=c에서 연속이 될 조건은 h(c)=0 하나뿐입니다. 곱의 좌극한과 우극한이 h(c)×(좌극한), h(c)×(우극한)이 되므로 h(c)가 0이어야만 두 값이 같아지기 때문입니다.
이 원리를 적용하면 계산이 매우 짧아집니다. x=2에서는 f(x)가 끊어지고 f(x−1)이 연속이므로, 연속이 되려면 f(2−1)=f(1)=a+4=0, 즉 a=−4입니다. x=3에서는 f(x−1)이 끊어지고 f(x)가 연속이므로, 연속이 되려면 f(3)=0이어야 하는데 f(3)=11이므로 불가능합니다. 따라서 불연속점은 x=3 하나뿐이고 b=3, |ab|=12입니다. 이 원리는 곱의 연속 문항에서 반복해서 쓰이므로 꼭 기억해 두세요.
실수를 줄이는 전략
- a=0인 경우를 따로 확인하지 않으면 “f(x)가 x=2에서 불연속”이라는 전제가 성립하는지 놓치게 됩니다. 4a+8과 8을 비교해 a≠0을 먼저 확정하세요.
- f(x−1)이 불연속인 점을 x=1로 착각하는 실수가 많습니다. x−1=2일 때이므로 x=3입니다.
- x→2일 때 f(x−1)의 극한은 f(x)의 x=1 근처 값, 즉 x≤2 구간의 식 ax2+4x로 계산합니다. 3x+2에 넣지 않도록 주의하세요.
- x=2만 확인하고 끝내면 안 됩니다. x=3에서 항상 불연속이라는 것을 확인해야 b=3을 확정할 수 있습니다.
- 구하는 값은 ab가 아니라 |ab|입니다. ab=−12이므로 절댓값을 취해 12로 답하세요.
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