빈출 유형
연속함수의 식 결정
f(x)에 대한 인수분해
출제의도
이 문항은 주어진 등식을 f(x)에 대한 이차식으로 보고 인수분해해, 각 x에서 f(x)가 가질 수 있는 값이 두 가지뿐이라는 것을 찾아낼 수 있는지 확인합니다. 그다음 “연속함수는 두 후보 식 사이를 아무 데서나 옮겨 다닐 수 없다”는 성질로 f(x)의 식을 하나로 결정합니다.
핵심은 두 직선 y=1, y=2x−2가 만나는 x=32에서만 식이 바뀔 수 있다는 점입니다. 여기에 f(3)−f(1)=1이라는 조건을 더하면 어느 쪽 식을 택하는지가 정해집니다.
단계별 힌트
등식을 한쪽으로 모으면 (f(x))2−(2x−1)f(x)+2x−2=0입니다. f(x)를 하나의 문자 t로 보고, t에 대한 이차식처럼 인수분해할 수 있는지 살펴보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
인수분해하면 f(x)=1 또는 f(x)=2x−2입니다. 즉 y=f(x)의 그래프는 두 직선 y=1, y=2x−2 위에만 놓입니다.
f(x)가 연속이므로 그래프가 한 직선에서 다른 직선으로 옮겨 가려면 두 직선이 만나는 점을 지나야 합니다. 교점이 아닌 곳에서 식이 바뀌면 그래프가 끊어집니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
두 직선의 교점의 x좌표를 구해 그 점의 왼쪽과 오른쪽에서 각각 어느 식인지 정하세요. f(1), f(3)이 가질 수 있는 값을 조합해 f(3)−f(1)=1이 되는 경우를 찾으면 됩니다. 마지막으로 x=0과 x=2가 교점의 어느 쪽에 있는지 확인하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ④ 3
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A인수분해로 f(x)의 후보 찾기
(f(x))2−(2x−1)f(x)+2x−2=0에서 곱이 2x−2, 합이 2x−1인 두 식은 1과 2x−2이므로 (f(x)−1)(f(x)−2x+2)=0입니다. 따라서 f(x)=1 또는 f(x)=2x−2입니다.
STEP B식이 바뀔 수 있는 점 찾기
1=2x−2에서 x=32입니다. f(x)가 연속이므로 식은 이 점에서만 바뀔 수 있고, x<32과 x>32에서는 각각 한 가지 식으로 유지됩니다.
STEP Cf(3)−f(1)=1로 식 결정하기
f(1)은 1 또는 0, f(3)은 1 또는 4입니다. 차가 1이 되는 경우는 f(1)=0, f(3)=1뿐입니다. 따라서 x≤32에서 f(x)=2x−2, x>32에서 f(x)=1입니다.
STEP Df(2)−f(0) 계산하기
f(2)=1, f(0)=2×0−2=−2이므로 f(2)−f(0)=1−(−2)=3입니다. 정답은 ④입니다.
1등급 다른 풀이 · 가능한 연속함수를 모두 나열하기
두 직선의 교점이 x=32 하나뿐이므로, 조건을 만족하는 연속함수 f(x)는 다음 네 가지뿐입니다. (i) 항상 1, (ii) 항상 2x−2, (iii) 교점 왼쪽은 2x−2이고 오른쪽은 1, (iv) 교점 왼쪽은 1이고 오른쪽은 2x−2.
각각 f(3)−f(1)을 계산하면 (i) 0, (ii) 4, (iii) 1, (iv) 3이므로 조건을 만족하는 것은 (iii)뿐입니다. 따라서 f(2)−f(0)=1−(−2)=3입니다. 이렇게 후보를 전부 적어 두면 조건이 f(3)−f(1)=3처럼 바뀌어도 곧바로 (iv)를 고를 수 있고, 교점이 여러 개로 늘어나는 변형 문제에도 같은 방식으로 대응할 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 등식을 x에 대해 전개하면 복잡해집니다. f(x)=t로 보고 t2−(2x−1)t+(2x−2)=0을 인수분해하면 바로 두 후보가 나옵니다.
- “f(x)=1 또는 f(x)=2x−2″를 둘 중 하나의 함수 전체로 오해해 f(x)=2x−2로 단정하면 f(3)−f(1)=4가 되어 조건과 맞지 않습니다. x에 따라 식이 바뀔 수 있다는 점을 반드시 고려하세요.
- 경계 x=32를 어느 쪽에 포함하는지는 두 식의 값이 같아 결과에 영향이 없습니다. 등호 위치로 고민할 필요가 없습니다.
- x=0은 교점의 왼쪽이므로 f(0)은 2x−2에 대입해 −2입니다. f(0)=1로 착각하면 f(2)−f(0)=0이 되어 ①을 고르게 됩니다.