TOUGH
함수의 연속과 불연속
조건에 따라 정의된 함수
출제의도
이 문항은 f(x)의 값에 따라 식이 바뀌는 함수 g(x)가 어디에서 불연속이 될 수 있는지 판단할 수 있는지 확인합니다. g(x)는 f(x)=1이 되는 점에서만 식이 바뀌므로, 불연속 후보는 곡선 y=f(x)와 직선 y=1의 교점뿐입니다.
x=1에서의 좌극한·우극한 조건으로 f(1)=1과 교점에서의 “건너가는 방향”을 읽어 내고, 다른 교점에서는 g(x)가 연속이어야 한다는 조건으로 그 교점의 위치를 결정하는 것이 핵심입니다. 이차함수가 직선 y=1과 한 점에서 접하는 경우와 두 점에서 만나는 경우를 빠짐없이 나누어 보는 힘도 함께 요구됩니다.
단계별 힌트
f(x)>1인 곳 근처에서는 g(x)=f(x), f(x)<1인 곳 근처에서는 g(x)=x−2로 식이 하나로 고정되므로 g(x)는 연속입니다. 그렇다면 g(x)가 불연속이 될 수 있는 x는 어떤 점뿐인지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
① limx→1−g(x)<limx→1+g(x)이므로 g(x)는 x=1에서 불연속입니다. 따라서 x=1은 f(x)=1인 점이어야 합니다.
② x=1 근처에서 g(x)가 가까워질 수 있는 값은 f(1)=1 또는 1−2=−1, 이 두 가지뿐입니다. 부등식이 성립하려면 좌극한과 우극한이 각각 어느 값이어야 하는지 정해 보세요.
③ 불연속인 점은 x=1 하나뿐이므로, f(x)=1인 다른 점 x=β에서는 g(x)가 연속이어야 합니다. 그 점에서 f(β)=1과 β−2가 같아야 합니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
③에서 β를 구한 뒤 f(x)−1=k(x−1)(x−β) (k=1 또는 −1)로 놓으세요. ②에서 정한 좌극한·우극한이 나오도록 k의 부호를 고르면 f(x)가 결정됩니다. 마지막으로 g(2)를 구할 때는 f(2)가 1 이상인지 먼저 확인해야 어느 식에 대입할지 알 수 있습니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ 3
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A불연속 후보를 좁히고 f(1)=1 얻기
h(x)=x−2라 하면 g(x)는 f(x)<1 또는 f(x)>1인 모든 x에서 연속이므로, 불연속이 될 수 있는 곳은 f(x)=1인 점뿐입니다. 조건에서 g(x)는 x=1에서 불연속이므로 f(1)=1이고, 불연속인 점이 1개이므로 g(x)는 x=1에서만 불연속이어야 합니다.
STEP By=1과 접하는 경우를 제외하고 다른 교점 β 구하기
f(x)=1인 x가 1뿐이면 f(x)=(x−1)2+1 또는 f(x)=−(x−1)2+1입니다. 앞의 경우는 g(x)=f(x)가 되어 x=1에서 연속이고, 뒤의 경우는 x≠1에서 g(x)=h(x)여서 좌극한과 우극한이 같으므로 모두 조건에 맞지 않습니다. 따라서 f(β)=1인 β(β≠1)가 있고, x=β에서 g(x)가 연속이어야 하므로 h(β)=1, 즉 β−2=1에서 β=3입니다.
STEP C최고차항의 계수 부호를 정하고 값 계산하기
f(x)=±(x−1)(x−3)+1입니다. 최고차항의 계수가 1이면 x=1의 왼쪽에서 f(x)>1, 오른쪽에서 f(x)<1이므로 좌극한 1, 우극한 −1이 되어 조건에 맞지 않습니다. 계수가 −1이면 좌극한 −1, 우극한 1이 되어 조건을 만족하므로 f(x)=−(x−1)(x−3)+1입니다. f(1)=1이고 f(2)=2≥1이므로 g(2)=f(2)=2, 따라서 f(1)+g(2)=1+2=3이고 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · 극한값 두 개로 교점의 “통과 방향”을 먼저 읽기
x=1 근처에서 g(x)가 가까워질 수 있는 값은 f(1)=1과 h(1)=−1 두 가지뿐입니다. 좌극한<우극한이려면 좌극한이 −1, 우극한이 1이어야 합니다. 즉 x=1의 왼쪽에서는 f(x)<1, 오른쪽에서는 f(x)≥1이므로, 곡선 y=f(x)는 x=1에서 직선 y=1을 아래에서 위로 뚫고 지나갑니다. 부호가 바뀌므로 접하는 경우는 경우 나누기 없이 곧바로 제외됩니다.
이차함수가 y=1을 두 번 지날 때, 작은 쪽 교점에서 아래에서 위로 올라간다면 두 교점 사이에서 f(x)>1이고 그래프는 위로 볼록입니다. 따라서 최고차항의 계수는 −1이고, 다른 교점은 연속 조건 β−2=1에서 β=3입니다. 이 두 사실만으로 f(x)−1=−(x−1)(x−3)이 한 번에 나오므로, 계수가 1인 경우를 그래프로 확인하는 과정을 생략할 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- g(x)의 불연속 후보는 f(x)=1인 점뿐입니다. 식이 바뀌지 않는 곳에서는 g(x)가 다항함수 하나와 같으므로 연속이라는 점을 먼저 정리하고 시작하세요.
- f(x)=1에서의 함숫값은 등호가 붙은 f(x)≥1 쪽 식을 따르므로 g(1)=f(1)=1입니다. h(1)=−1과 헷갈리지 마세요.
- 다른 교점 β에서의 연속 조건은 f(β)=h(β)입니다. f(β)=1이므로 h(β)=1, 즉 β=3입니다. β−2=0으로 놓아 β=2라고 쓰는 실수가 잦습니다.
- g(2)를 f(2)로 바로 쓰기 전에 f(2)≥1인지 확인하세요. f(2)=2≥1이므로 g(2)=2이고, 만약 1보다 작았다면 h(2)=0을 써야 합니다.
엄선된 풀이 영상
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