빈출 유형
곱한 함수의 연속
좌극한·우극한·함숫값 비교
출제의도
이 문항은 불연속인 함수와 연속인 함수를 곱했을 때, 곱한 함수가 연속이 되기 위한 조건을 좌극한·우극한·함숫값으로 따져 볼 수 있는지 확인합니다. f(x)는 x=−1에서 불연속이지만, g(x)가 알맞게 정해지면 f(x)g(x)는 연속이 될 수 있습니다.
f(x)의 좌극한, 우극한, 함숫값을 각각 구해 g(−1)을 곱한 식으로 나타내고, 세 값이 같아지는 조건에서 g(−1)=0을 이끌어 내는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
x<−1과 x>−1에서는 f(x)와 g(x)가 모두 다항함수이므로 f(x)g(x)는 저절로 연속입니다. 그렇다면 연속인지 따로 확인해야 하는 점은 어디일지, 그 점에서 연속이려면 어떤 세 값이 같아야 하는지 떠올려 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
x=−1에서 f(x)g(x)의 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 같아야 합니다. g(x)는 이차함수라 x=−1에서 연속이므로, 각 값은 f(x)의 좌극한·우극한·함숫값에 g(−1)을 곱한 것과 같습니다.
x<−1일 때는 x2+1, x≥−1일 때는 3x−1을 쓴다는 점에 주의해서 f(x)의 세 값을 구해 보세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
좌극한은 2g(−1), 우극한과 함숫값은 −4g(−1)로 정리됩니다. 2g(−1)=−4g(−1)을 만족하는 g(−1)의 값을 구한 뒤, g(−1)=2−a에 대입해 a를 구하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ⑤ 2
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A확인할 점을 x=−1로 좁히기
x≠−1인 곳에서는 f(x)g(x)가 다항함수의 곱이므로 연속입니다. 따라서 f(x)g(x)가 실수 전체에서 연속이려면 x=−1에서 연속이면 됩니다. 즉, limx→−1−f(x)g(x)=limx→−1+f(x)g(x)=f(−1)g(−1)이어야 합니다.
STEP B세 값을 g(−1)로 나타내기
g(x)는 x=−1에서 연속이므로 limx→−1−f(x)g(x)=limx→−1−f(x)×limx→−1−g(x)=2g(−1)이고, limx→−1+f(x)g(x)=−4g(−1), f(−1)g(−1)=−4g(−1)입니다.
STEP Cg(−1)=0에서 a 구하기
2g(−1)=−4g(−1)에서 6g(−1)=0이므로 g(−1)=0입니다. g(−1)=2−a=0이므로 a=2이고, 정답은 ⑤입니다.
1등급 다른 풀이 · 끊어진 점에서 연속함수가 0이 되어야 한다
f(x)는 x=−1에서 좌극한이 2, 우극한이 −4로 서로 다릅니다. 이렇게 극한값이 벌어진 점에서 곱 f(x)g(x)가 연속이 되려면, 곱해지는 연속함수 g(x)가 그 점에서 0이 되어 좌극한과 우극한을 모두 0으로 만들어야 합니다. 그래서 계산 없이 곧바로 g(−1)=0으로 놓을 수 있습니다.
이때 2(−1)2+a×(−1)=2−a=0에서 a=2이고, g(x)=2x2+2x=2x(x+1)로 g(x)가 x+1을 인수로 갖는다는 것도 확인할 수 있습니다. 실제로 a=2이면 x=−1에서 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 0이 되어 연속임을 알 수 있습니다. 이 원리는 “불연속 함수 × 연속함수” 꼴의 문항에서 반복해서 쓰이므로 꼭 기억해 두세요.
실수를 줄이는 전략
- f(−1)은 x≥−1인 쪽의 식 3x−1에 대입해야 하므로 f(−1)=−4입니다. 좌극한의 값 2와 헷갈리지 마세요.
- f(x)가 x=−1에서 불연속이라고 해서 f(x)g(x)도 반드시 불연속이라고 판단하면 안 됩니다. g(−1)=0이면 곱은 연속이 될 수 있습니다.
- g(−1)을 계산할 때 a×(−1)=−a이므로 g(−1)=2−a입니다. 부호를 놓쳐 2+a=0으로 쓰면 오답 ① −2를 고르게 됩니다.
- x≠−1인 곳의 연속성은 다항함수라서 따로 확인할 필요가 없습니다. 경계점 x=−1 한 곳에 집중하세요.