빈출 유형
연속과 불연속 판정
항등식과 극한
출제의도
이 문항은 모든 실수 x에서 성립하는 등식 (x+1)f(x)=x3+3x2+a에서 상수 a와 x≠−1일 때의 f(x)를 구하고, f(b)=2+limx→bf(x)라는 조건을 “x=b에서 불연속”이라는 뜻으로 해석할 수 있는지 확인합니다.
x=−1을 대입하면 양변이 모두 0이 되므로 f(−1)의 값은 이 등식으로 정해지지 않습니다. 그래서 f(x)가 불연속일 수 있는 점은 x=−1 하나뿐이고, 이 점이 곧 b라는 사실을 찾는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
모든 실수 x에 대하여 성립하는 등식이므로 원하는 x값을 대입할 수 있습니다. 좌변이 0이 되는 x를 대입하면 상수 a를 구할 수 있습니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
x=−1을 대입하면 a가 결정됩니다. 그 뒤 우변을 x+1로 인수분해하면 x≠−1일 때 f(x)는 이차식이 됩니다.
x=−1에서는 양변이 모두 0이 되어 f(−1)의 값이 이 등식만으로 정해지지 않는다는 점에 주목하세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
f(b)=2+limx→bf(x)이면 f(b)와 극한값이 서로 다르므로 x=b에서 불연속입니다. f(x)가 불연속일 수 있는 유일한 점을 b로 정하고, 그 점에서의 극한값을 구해 f(b)를 계산하세요. 마지막으로 구하는 값이 b+f(b)라는 점을 확인하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① −2
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Ax=−1을 대입해 a 구하기
주어진 등식의 양변에 x=−1을 대입하면 0=−1+3+a이므로 a=−2입니다.
STEP Bx≠−1일 때 f(x) 구하기
(x+1)f(x)=x3+3x2−2=(x+1)(x2+2x−2)이므로 x≠−1일 때 f(x)=x2+2x−2이고, f(x)는 x<−1 또는 x>−1인 모든 실수에서 연속입니다.
STEP C불연속점으로 b 정하기
f(b)=2+limx→bf(x)에서 f(b)≠limx→bf(x)이므로 f(x)는 x=b에서 불연속입니다. 불연속일 수 있는 점은 x=−1뿐이므로 b=−1입니다.
STEP Df(b)와 b+f(b) 계산하기
f(−1)=2+limx→−1(x2+2x−2)=2+(−3)=−1이므로 b+f(b)=−1+(−1)=−2입니다. 정답은 ①입니다.
1등급 다른 풀이 · b가 −1일 수밖에 없는 이유
b≠−1이라고 가정해 봅시다. 그러면 x=b 근처에서 f(x)=x2+2x−2인 다항함수이므로 f(b)=limx→bf(x)가 성립합니다. 이를 조건에 넣으면 f(b)=2+f(b), 즉 0=2가 되어 모순입니다. 따라서 b=−1로 확정됩니다. 조건식을 보자마자 “함숫값과 극한값이 다르다 → 불연속점을 찾아라”로 연결하는 것이 1등급 사고입니다.
극한값 limx→−1f(x)는 limx→−1x3+3x2−2x+1로 구할 수도 있습니다. 참고로 3단원에서 미분계수를 배우면, 분자 g(x)=x3+3x2−2에 대하여 g(−1)=0이므로 이 극한값은 g′(−1)=3−6=−3과 같다는 것도 확인할 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- x=−1을 대입할 때 (−1)3=−1, 3×(−1)2=3의 부호를 놓치기 쉽습니다. 0=−1+3+a에서 a=−2입니다.
- x3+3x2−2를 x+1로 나눌 때 x의 일차항 계수 0을 빠뜨리지 마세요. 조립제법에 1, 3, 0, −2를 넣으면 몫이 x2+2x−2, 나머지가 0입니다.
- f(−1)을 x2+2x−2에 대입해 −3으로 쓰면 안 됩니다. 이 식은 x≠−1에서만 성립하고, f(−1)은 조건 f(b)=2+(극한값)으로 정해지는 값 −1입니다.
- 구하는 값은 f(b)가 아니라 b+f(b)입니다. 선택지에 −1도 있으므로 마지막에 b=−1을 더했는지 반드시 확인하세요.