빈출 유형
사잇값 정리
방정식의 실근의 위치
출제의도
이 문항은 사잇값 정리를 이용해 방정식의 실근이 주어진 구간에 존재할 조건을 식으로 세울 수 있는지 확인합니다. 연속함수 f(x)=x3+nx−30의 양 끝 함숫값 f(2), f(3)의 부호를 비교하는 것이 출발점입니다.
실근이 오직 하나라는 조건 덕분에 f(2)f(3)<0이 필요충분조건이 되고, 열린구간이므로 등호가 빠진다는 점까지 챙기는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 f(a)와 f(b)의 부호가 서로 다르면, 방정식 f(x)=0은 열린구간 (a, b)에서 적어도 하나의 실근을 갖습니다. 이 정리를 이 문항에 어떻게 적용할지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
f(x)=x3+nx−30으로 놓으면 f(x)는 실수 전체에서 연속입니다. 실근이 하나뿐이므로, 그 실근이 (2, 3)에 있으려면 f(2)와 f(3)의 부호가 달라야 합니다. 즉, f(2)f(3)<0입니다.
f(2)와 f(3)을 각각 n에 대한 식으로 나타내 보세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
(2n−22)(3n−3)<0을 인수로 정리해 n의 범위를 구하세요. 등호가 들어가지 않는 이유를 확인한 뒤, 범위 안에 있는 자연수의 개수를 세면 됩니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ④ 9
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A사잇값 정리로 조건 세우기
f(x)=x3+nx−30은 실수 전체에서 연속이고 f(x)=0의 실근은 오직 하나입니다. 따라서 이 실근이 열린구간 (2, 3)에 속하려면 f(2)f(3)<0이어야 합니다.
STEP Bf(2), f(3)을 n으로 나타내기
f(2)=8+2n−30=2n−22, f(3)=27+3n−30=3n−3이므로 f(2)f(3)=(2n−22)(3n−3)=6(n−11)(n−1)<0입니다.
STEP C자연수 n의 개수 세기
6(n−11)(n−1)<0에서 1<n<11이므로 자연수 n은 2, 3, 4, …, 10입니다. 개수는 9이므로 정답은 ④입니다.
1등급 다른 풀이 · 증가함수라면 부호를 하나씩 정한다
n이 자연수이면 x3과 nx가 모두 x가 커질수록 커지므로 f(x)=x3+nx−30은 증가하는 함수입니다. 증가하는 함수의 그래프는 x축과 한 번만 만나고, 그 교점이 2와 3 사이에 있으려면 f(2)<0이고 f(3)>0이어야 합니다.
f(2)=2n−22<0에서 n<11, f(3)=3n−3>0에서 n>1이므로 곧바로 1<n<11을 얻습니다. 곱의 부호를 따지는 이차부등식을 풀지 않고 일차부등식 두 개로 끝나 계산이 가벼워지고, 문제에서 “오직 하나의 실근”이라고 한 이유도 함께 이해할 수 있습니다. 4단원에서 도함수를 배우면 f′(x)=3x2+n>0으로 이 함수가 증가함을 더 간단히 확인할 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 구간이 열린구간 (2, 3)이므로 등호를 넣으면 안 됩니다. n=11이면 f(2)=0이 되어 실근이 2이고, n=1이면 f(3)=0이 되어 실근이 3이므로 둘 다 구간에 속하지 않습니다.
- 사잇값 정리는 “부호가 다르면 실근이 있다”는 방향만 보장합니다. 이 문항에서 f(2)f(3)<0을 필요충분조건으로 쓸 수 있는 것은 실근이 오직 하나라는 조건 덕분입니다.
- 2n−22=2(n−11), 3n−3=3(n−1)로 인수를 먼저 뽑아 두면 부호 판단이 쉽고 계산 실수가 줄어듭니다.
- 2부터 10까지 자연수의 개수는 10−2+1=9입니다. 끝 수 10을 그대로 개수로 착각해 ⑤를 고르지 않도록 주의하세요.