실력 완성
0/0꼴 극한과 인수분해
집합 조건의 해석
출제의도
이 문항은 집합으로 주어진 조건을 극한 조건으로 번역하는 힘을 확인합니다. 조건을 만족시키는 a가 −1과 0뿐이라는 것은, x→−1일 때와 x→0일 때 주어진 분수식의 극한값이 모두 32라는 뜻입니다.
핵심은 x=−1에서 분모의 극한이 0인지 아닌지를 스스로 판단하는 것입니다. 분모가 0이 아니라고 가정하면 극한값이 1이 되어 모순이 생기므로, 분모 f(x)+x가 x+1을 인수로 가진다는 사실을 끌어내야 합니다. 이 판단 하나가 문제 전체의 실마리가 됩니다.
단계별 힌트
집합 조건을 문장으로 풀면 “x→−1일 때와 x→0일 때 분수식의 극한값이 32“입니다. 두 개의 극한 조건으로 나누어 생각하세요.
분수식의 극한을 구할 때는 먼저 분모의 극한이 0인지 아닌지부터 확인합니다. 분모의 극한이 0이 아니면 그냥 대입하면 되고, 0이면 인수분해가 필요합니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
x=−1에서 분모 f(x)+x의 극한이 0이 아니라고 가정해 보세요. 그러면 분자는 f(−1)−1, 분모도 f(−1)−1이 되어 극한값이 1이 됩니다. 32이 될 수 없으므로 분모의 극한은 0이어야 합니다.
f(x)+x는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수이고 x=−1에서 0이므로 f(x)+x=(x+1)g(x) (g(x)는 최고차항의 계수가 1인 이차함수)로 놓을 수 있습니다. 분자는 f(x)+2x+1=(f(x)+x)+(x+1)로 쪼개면 x+1로 약분할 수 있습니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
약분하면 x→−1일 때 g(x)+1g(x)의 극한이 32이므로 g(−1)=2를 얻습니다. g(x)=x2+px+q로 놓으면 q를 p로 나타낼 수 있습니다.
남은 미지수 p는 x→0일 때의 조건으로 결정됩니다. f(x)=(x+1)g(x)−x에서 마지막 −x를 빠뜨리지 말고 f(1)을 계산하세요.
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정답 7
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Ax=−1에서 분모의 극한이 0임을 판단하기
분모의 극한이 0이 아니면 극한값은 f(−1)−1f(−1)−1=1이 되어 조건에 맞지 않습니다. 따라서 f(−1)+(−1)=0이고, f(x)+x=(x+1)g(x)로 놓을 수 있습니다.
STEP B약분 후 g(−1)의 값 구하기
분자를 (x+1)g(x)+(x+1)로 바꾸어 약분하면 limx→−1g(x)+1g(x)=32입니다. g(−1)=0이면 극한이 존재하지 않으므로 g(−1)≠0이고, 2g(−1)+2=3g(−1)에서 g(−1)=2입니다. g(x)=x2+px+q로 놓으면 1−p+q=2이므로 g(x)=x2+px+p+1입니다.
STEP Cx=0 조건으로 p 결정하기
x→0일 때 극한은 g(0)+1g(0)=p+2p+1이고, 이 값이 32이려면 p≠−1이면서 2p+4=3p+3, 즉 p=1입니다. 따라서 g(x)=x2+x+2입니다.
STEP Df(1) 계산하기
f(x)=(x+1)(x2+x+2)−x이므로 f(1)=2×4−1=7입니다.
1등급 다른 풀이 · 3/2를 빼서 하나의 함수로 모으기
극한값이 32이라는 조건은 “분수식에서 32을 뺀 값의 극한이 0″이라는 조건과 같습니다. 실제로 빼서 정리하면 f(x)+2x+1f(x)+x−32=−f(x)−x−22(f(x)+x)이 됩니다. 그래서 h(x)=f(x)−x−2라는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 하나에 집중하면 됩니다.
x→0일 때는 f(0)=0이면 분자가 −2로 가서 발산하므로 f(0)≠0이고, 분모에 그냥 대입할 수 있으니 h(0)=0입니다. x→−1일 때는 분모 f(x)+x=h(x)+2(x+1)의 극한이 0이 되어야 하므로(STEP A와 같은 이유) h(−1)=0이고, h(x)=(x+1)k(x)로 놓으면 극한은 k(−1)k(−1)+2입니다. 이 값이 0이어야 하므로 k(−1)=0, 즉 h(x)는 (x+1)2을 인수로 가집니다.
결국 h(x)=x(x+1)2이고 f(x)=x(x+1)2+x+2이므로 f(1)=4+3=7입니다. 이 방법은 해설의 참고 풀이(미분계수 이용)와 같은 식에 도달하면서도 미분 없이 극한만으로 끝나고, h(a)≠0인 다른 a에서는 조건이 성립하지 않는다는 것까지 한 번에 보여 줍니다.
실수를 줄이는 전략
- x=−1에서 분모의 극한이 0이 아닐 수도 있다는 가능성을 먼저 검토하고 버려야 합니다. 이 과정 없이 “0/0꼴이겠지” 하고 넘어가면 서술형에서 논리가 빈약해집니다.
- 약분 후 limx→−1g(x)=0인 경우도 배제해야 합니다. 이때는 극한이 존재하지 않으므로 g(−1)≠0이라는 전제 위에서 식을 세웁니다.
- x→0 조건에서 p+2p+1을 쓰기 전에 분모 g(0)=p+1이 0이 아닌지 확인하세요. 구한 p=1은 이 조건을 만족합니다.
- f(x)=(x+1)g(x)−x에서 −x를 빠뜨리면 f(1)=8이라는 오답이 나옵니다. 마지막 대입은 식 전체를 다시 적고 계산하세요.
- 집합이 정확히 {−1, 0}이라는 조건은 “다른 a에서는 성립하지 않는다”는 뜻도 담고 있습니다. 구한 f(x)에 대해 f(a)=a+2가 되는 a는 a(a+1)2=0에서 −1, 0뿐이므로 조건과 맞아떨어집니다.
엄선된 풀이 영상
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