고난도
좌극한과 우극한
치환을 이용한 극한
함수의 증가
출제의도
이 문항은 구간별로 정의된 함수의 우극한과 좌극한을 t에 대한 함수로 표현할 수 있는지를 확인합니다. 하나의 값을 구하는 극한이 아니라, t가 움직일 때 극한값이 어떻게 달라지는지를 구간별로 정리해야 한다는 점이 핵심입니다.
특히 limx→t− f(x+2)는 f의 경계점 x=1을 t=−1로 옮겨 놓습니다. 그래서 g(t)는 t=−1과 t=1 두 곳에서 식이 바뀌고, 이 두 경계에서 등호가 어느 쪽에 붙는지, 값이 위로 뛰는지 아래로 떨어지는지를 정확히 판단해야 ㄴ과 ㄷ을 해결할 수 있습니다.
단계별 힌트
구간별로 정의된 함수의 극한은 “경계점의 어느 쪽에서 다가가는가”에 따라 쓰는 식이 정해집니다. f(x)의 경계점은 x=1 하나뿐입니다.
limx→t+ f(x)는 t와 1의 대소를 기준으로 나누면 되고, limx→t− f(x+2)는 x+2=u로 치환해 u→(t+2)− 인 좌극한으로 바꾸어 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
우극한은 t=1일 때에도 x>1 쪽에서 다가가므로 x+p를 씁니다. 따라서 limx→t+ f(x)는 t<1이면 t, t≥1이면 t+p입니다.
좌극한 limu→(t+2)− f(u)는 t+2=1일 때에도 x≤1 쪽에서 다가가므로 u를 씁니다. 즉 경계가 t+2=1, 곧 t=−1로 옮겨집니다. 두 결과를 더하면 g(t)는 t≤−1, −1<t<1, t≥1의 세 구간으로 나뉩니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
ㄴ은 세 구간 각각에서 증가하는지 확인한 뒤, 경계 t=−1과 t=1에서 “왼쪽 극한, 함숫값, 오른쪽 극한”의 크기를 비교하면 됩니다.
ㄷ은 같은 구간 안에서는 g가 증가하므로, 연속된 세 정수에서 값이 계속 줄어들려면 두 번 모두 구간이 바뀌어야 합니다. 그런 m을 먼저 정한 뒤 부등식을 세워 p의 범위를 구하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② (ㄱ, ㄴ)
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 극한을 t에 대한 식으로 정리하기
limx→t+ f(x)는 t<1일 때 t, t≥1일 때 t+p입니다.
limx→t− f(x+2)에서 x+2=u로 놓으면 x→t− 일 때 u→(t+2)− 이므로, t+2≤1 즉 t≤−1일 때 t+2, t>−1일 때 t+2+p입니다.
STEP Bg(t)를 세 구간으로 합치고 ㄱ 확인
두 결과를 더하면 g(t)는 t≤−1일 때 2t+2, −1<t<1일 때 2t+2+p, t≥1일 때 2t+2+2p입니다.
t=−1은 첫 번째 구간에 속하므로 g(−1)=2×(−1)+2=0입니다. 따라서 ㄱ은 참입니다.
STEP Cㄴ · 구간 내부와 경계를 함께 확인
세 구간 모두 기울기가 2인 일차식이므로 각 구간에서 증가합니다. p>0일 때 경계 t=−1에서는 왼쪽 극한 0 = g(−1)=0 < 오른쪽 극한 p이고, 경계 t=1에서는 왼쪽 극한 4+p < g(1)=4+2p = 오른쪽 극한 4+2p입니다.
경계에서도 값이 위로만 뛰므로 t가 증가하면 g(t)도 증가합니다. 따라서 ㄴ은 참입니다.
STEP Dㄷ · 가능한 m을 먼저 확정하기
같은 구간 안에서는 g가 증가하므로 g(m)>g(m+1)이 되려면 m과 m+1 사이에서 구간이 바뀌어야 하고, 이런 정수 m은 −1, 0뿐입니다. 두 번 연속 감소해야 하므로 m=−1만 가능합니다.
g(−1)=0, g(0)=2+p, g(1)=4+2p이므로 0>2+p>4+2p에서 p<−2입니다. 정수 p의 최댓값은 −3이므로 ㄷ은 거짓이고, 옳은 것은 ㄱ, ㄴ입니다.
1등급 다른 풀이 · g(t)를 “직선 + 계단”으로 분해하기
STEP A의 결과를 다시 보면, 두 극한 모두 기본값에 경계를 넘을 때마다 p가 하나씩 더해지는 구조입니다. 그래서 g(t)는 직선 2t+2에, 넘어간 경계의 개수만큼 p를 더한 값으로 볼 수 있습니다. 넘어간 경계의 개수를 k(t)라 하면 k(t)는 t≤−1에서 0, −1<t<1에서 1, t≥1에서 2이고 g(t)=2t+2+p·k(t)입니다.
이렇게 보면 ㄴ은 한 줄로 끝납니다. 2t+2는 증가하고 k(t)는 감소하지 않으므로, p>0이면 p·k(t)도 감소하지 않아 둘의 합 g(t)는 증가합니다.
ㄷ도 정수에서의 값의 차이만 보면 빠릅니다. 이웃한 정수 사이의 차 g(n+1)−g(n)은 경계를 넘지 않으면 2, 경계를 하나 넘으면 2+p입니다. 경계를 넘는 경우는 −1→0, 0→1의 두 번뿐이고 이 둘은 연달아 있으므로, 연속 두 번 감소하려면 2+p<0, 즉 p<−2가 되어야 합니다. 경계가 여러 개인 변형 문항에서도 이 “차이 표” 방식은 그대로 쓸 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- limx→t− f(x+2)의 경계를 t=1로 착각하기 쉽습니다. f 안에 들어가는 값은 x+2이므로 경계는 t+2=1, 즉 t=−1입니다. 치환 u=x+2를 꼭 적어 두세요.
- 경계의 등호 처리가 가장 중요합니다. 우극한은 t=1에서 x+p 쪽 식을 쓰므로 t≥1에 등호가 붙고, 좌극한은 t+2=1에서 x 쪽 식을 쓰므로 t≤−1에 등호가 붙습니다. 이것이 바뀌면 g(−1), g(1)의 값이 달라집니다.
- ㄴ에서 “각 구간의 기울기가 양수”만 확인하고 끝내면 안 됩니다. 불연속인 함수는 경계에서 값이 아래로 떨어질 수 있으므로 두 경계에서 극한값과 함숫값을 반드시 비교하세요.
- ㄷ에서 p=−2를 넣으면 g(−1)=g(0)=g(1)=0이 되어 부등호가 성립하지 않습니다. p<−2에는 등호가 없으므로 정수 최댓값은 −3이고, p=−3을 넣어 0>−1>−2가 되는지 확인하면 −4라는 함정도 쉽게 걸러집니다.
엄선된 풀이 영상
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