실력 완성
Level 3
극한값이 존재할 조건
이차함수의 결정
출제의도
이 문항은 “분모가 0으로 가는 분수식의 극한값이 존재하려면 분자도 0으로 가야 한다”는 원리를 두 조건에 각각 적용하여 이차함수를 결정할 수 있는지를 확인합니다. 조건 (가)에서는 절댓값이 만드는 부호 변화를 따져 f(x)의 모양과 꼭짓점을 찾고, 조건 (나)에서는 분모 f(x)+2의 영점이 분자의 영점과 일치해야 한다는 사실로 곡선 위의 두 점을 찾아야 합니다.
핵심 함정은 조건 (가)의 “3뿐이다”라는 표현입니다. f(x)>0인 구간이 조금이라도 있으면 그 구간의 모든 a에서 극한값이 0으로 존재해 버리므로, “오직 하나”라는 조건 하나가 f(x)의 부호와 꼭짓점의 위치를 동시에 결정한다는 점을 읽어내야 합니다.
단계별 힌트
x→a일 때 분모 x−a는 0으로 갑니다. 이때 극한값이 존재하려면 분자도 0으로 가야 합니다.
분자 |f(x)|−f(x)는 f(x)≥0이면 0이고, f(x)<0이면 −2f(x)입니다. f(x)의 부호에 따라 경우를 나누어 극한값이 언제 존재하는지부터 따져 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
f(x)>0인 x가 하나라도 있으면 그 주변의 모든 a에서 분자가 항상 0이므로 극한값이 0으로 존재합니다. 이러면 극한값이 존재하는 a가 무수히 많아져 조건 (가)에 어긋납니다. 반대로 모든 x에서 f(x)<0이면 어떤 a에서도 극한값이 존재하지 않습니다.
따라서 f(x)≤0이고 f(x)=0이 되는 x가 딱 하나 있어야 하므로 f(x)=k(x−m)2 (k<0) 꼴입니다. 이제 m이 무엇인지, 그리고 조건 (나)에서 분모 f(x)+2가 0이 되는 곳에서 분자 f(x−2)f(x+2)가 어떻게 되어야 하는지 생각해 보세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
f(x)=k(x−3)2을 이용해 분자 f(x−2)f(x+2)가 0이 되는 두 x의 값을 구하세요. 이 두 값이 곧 방정식 f(x)+2=0의 두 근이어야 합니다. 그 사실만으로 f(5)의 값이 거의 바로 보입니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② −2
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건 (가)로 f(x)의 부호 정하기
f(a)>0이면 a 근처에서 |f(x)|−f(x)=0이므로 극한값이 0으로 존재합니다. f(x)>0인 구간이 있으면 극한값이 존재하는 a가 무수히 많아지므로, 모든 실수 x에 대하여 f(x)≤0이어야 합니다.
STEP B꼭짓점 결정 · f(x)=k(x−3)2
모든 x에서 f(x)<0이면 분자가 −2f(a)≠0으로 가서 극한값이 존재하지 않습니다. 따라서 f(x)=0인 x가 존재하고, f(x)≤0인 이차함수이므로 f(x)=k(x−m)2 (k<0)입니다.
a=m일 때 극한은 limx→m{−2k(x−m)}=0으로 존재하고, a≠m이면 f(a)<0이라 존재하지 않습니다. 극한값이 존재하는 a가 3뿐이므로 m=3, 즉 f(x)=k(x−3)2입니다.
STEP C조건 (나)로 분모의 영점 찾기
f(x)의 최댓값이 0이므로 f(x)+2=0은 서로 다른 두 실근 α, β (α<β)를 가집니다. b=α 또는 b=β일 때 분모가 0으로 가므로 분자도 0으로 가야 합니다.
분자는 f(x−2)f(x+2)=k2(x−5)2(x−1)2이고 이것이 0이 되는 x는 1과 5뿐입니다. 따라서 α=1, β=5입니다. 이때 분자는 이중근, 분모는 단일근이라 극한값이 0으로 존재합니다.
STEP Dk 구하고 f(5) 계산
f(1)=−2에서 4k=−2이므로 k=−12입니다. 따라서 f(x)=−12(x−3)2이고 f(5)=−2입니다.
1등급 다른 풀이 · k를 구하지 않고 바로 답 내기
묻는 값은 f(5) 하나뿐입니다. STEP C에서 5가 방정식 f(x)+2=0의 근이라는 것을 확인한 순간, f(5)+2=0이므로 f(5)=−2가 곧바로 나옵니다. k의 값은 전혀 필요하지 않습니다.
검산도 대칭성으로 간단히 할 수 있습니다. f(x)+2=0의 두 근은 축 x=3에 대하여 대칭이므로 α+β=6이어야 하는데, 1+5=6으로 정확히 맞아떨어집니다. 이처럼 “구해야 하는 값이 이미 조건 속에 들어 있는지”를 먼저 확인하는 습관은 실력 완성 문항에서 계산 시간을 크게 줄여 줍니다.
실수를 줄이는 전략
- STEP D에서 k=−12을 구하고 멈추면 선택지 ⑤를 고르게 됩니다. 마지막에 묻는 값이 k가 아니라 f(5)라는 것을 반드시 다시 확인하세요.
- f(x)<0일 때 |f(x)|=−f(x)이므로 분자는 −2f(x)입니다. 이를 0으로 착각하면 f(x)의 부호 판단이 정반대가 됩니다.
- f(x)>0인 구간에서는 극한값이 “존재하지 않는” 것이 아니라 0으로 “존재한다”는 점이 핵심입니다. 이 구간이 있으면 조건 (가)의 “3뿐”이 깨진다는 논리를 놓치지 마세요.
- f(x−2), f(x+2)를 쓸 때는 x 자리에 x−2, x+2를 그대로 넣어 (x−5)2, (x−1)2이 되는지 확인하세요. 평행이동 방향을 감으로 처리하면 근을 잘못 찾기 쉽습니다.
엄선된 풀이 영상
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