변별 포인트
치환을 이용한 극한
다항함수의 결정
출제의도
이 문항은 x→∞일 때의 극한과 x→0+일 때의 극한을 치환으로 오갈 수 있는지, 그리고 두 극한 조건을 각각 다항함수의 “최저차항”과 “최고차항”에 대한 정보로 번역할 수 있는지를 확인합니다.
자연수 n이 정해져 있지 않으므로 n=1, n=2, n≥3으로 경우를 나누어야 합니다. 분모 xn+x의 모양이 n에 따라 달라지고, 분자의 2x2−x가 어느 차수의 항에 영향을 주는지가 경우마다 다르다는 점이 변별 포인트입니다.
단계별 힌트
첫 번째 조건의 f(1x)는 1x=t로 치환하면 다루기 쉬워집니다. x→∞일 때 t→0+이고, xn은 1tn이 됩니다.
치환 후 얻은 극한 limt→0+ f(t)tn=4p가 다항함수 f(x)의 어떤 항에 대한 정보인지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
x→0+일 때 f(x)xn이 0이 아닌 값 4p로 수렴하려면, f(x)의 모든 항의 차수가 n 이상이고 xn의 계수가 4p여야 합니다. 차수가 n보다 낮은 항이 있으면 발산하기 때문입니다.
두 번째 조건은 x→∞일 때의 극한이므로 최고차항 비교입니다. 분자 f(x)+2x2−x가 분모와 같은 차수이고, 최고차항의 계수의 비가 p여야 합니다. n=1이면 분모가 2x, n=2이면 x2+x, n≥3이면 최고차항이 xn입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
n=1, n=2일 때는 두 번째 조건으로 f(x)의 꼴을 정한 뒤, 첫 번째 조건(상수항 등 낮은 차수 항이 없고 xn의 계수가 4p)과 비교해 p를 구하세요. n≥3일 때는 xn의 계수를 두 조건에서 각각 읽으면 p와 4p가 같아야 한다는 모순이 생깁니다. 가능한 f(−1)의 값을 모두 더하면 됩니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② −203
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A첫 번째 조건을 치환해 해석하기
1x=t로 놓으면 limt→0+ f(t)tn=4p입니다. 따라서 f(x)의 모든 항의 차수는 n 이상이고 xn의 계수는 4p입니다. 이것을 ㉠이라 합니다.
STEP Bn=1, n=2인 경우 f(x) 결정하기
n=1이면 분모가 2x이므로 f(x)+2x2−x=2px+q, 즉 f(x)=−2x2+(2p+1)x+q입니다. ㉠에서 q=0, 2p+1=4p이므로 p=12이고 f(x)=−2x2+2x, f(−1)=−4입니다.
n=2이면 f(x)+2x2−x=px2+rx+s, 즉 f(x)=(p−2)x2+(r+1)x+s입니다. ㉠에서 p−2=4p, r+1=0, s=0이므로 p=−23이고 f(x)=−83x2, f(−1)=−83입니다.
STEP Cn≥3인 경우 배제하고 합 구하기
n≥3이면 f(x)+2x2−x=pxn+g(x) (g(x)는 (n−1)차 이하)로 놓을 수 있고, f(x)의 xn의 계수는 p입니다. ㉠에서 이 계수가 4p여야 하므로 p=0이 되어 p≠0에 모순입니다. 따라서 구하는 합은 −4+(−83)=−203입니다.
1등급 다른 풀이 · 최저차항에서 출발해 차수로 정리하기
㉠에서 f(x)는 4pxn을 최저차항으로 가지므로 f(x)=4pxn+(n보다 높은 차수의 항들)입니다. 두 번째 조건은 f(x)+2x2−x의 차수가 정확히 n이라는 뜻이므로, n보다 높은 차수의 항은 2x2−x로 지워질 수 있는 것만 남을 수 있습니다.
n≥3이면 지워 줄 항이 없어 f(x)=4pxn이고, 분자의 최고차항 계수 4p가 p와 같아야 하므로 모순입니다. n=2이면 f(x)=4px2이고 분자는 (4p+2)x2−x이므로 4p+2=p, p=−23입니다. n=1이면 f(x)의 x2항은 −2x2이어야 하므로 f(x)=4px−2x2이고, 분자는 (4p−1)x, 분모는 2x이므로 4p−12=p, p=12입니다.
이렇게 “최저차항은 첫 번째 조건, 최고차항은 두 번째 조건”으로 역할을 나누면 새 미지수 q, r, s를 도입하지 않고도 두 함수를 바로 얻을 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- n=1일 때 분모 xn+x는 x가 아니라 2x입니다. 분모를 x로 착각하면 분자의 일차항 계수가 p로 잡혀 전혀 다른 함수가 나옵니다.
- 치환할 때 xn=1tn이므로 xnf(1x)는 f(t)tn입니다. 또 x→∞이면 t→0+로 방향까지 바꿔 적으세요.
- ㉠의 “모든 항의 차수가 n 이상”을 놓치면 상수항이나 낮은 차수 항을 0으로 두지 못해 미지수가 남습니다. n=1이면 상수항, n=2이면 상수항과 일차항이 모두 0입니다.
- n≥3인 경우를 생략하지 마세요. 이 경우가 모순이라는 것을 확인해야 “모든 다항함수”를 빠짐없이 찾았다고 말할 수 있습니다.
- 묻는 것은 f(−1)의 값의 합입니다. f(−1)=−2−2=−4에서 부호를 놓치지 말고, 두 값을 모두 더해 −203을 얻으세요.
엄선된 풀이 영상
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