빈출 유형
분모의 유리화
망원합(소거되는 합)
출제의도
이 문항은 분모에 근호가 두 개 들어 있는 합을 보고 곧바로 “유리화해서 소거시키자”는 판단을 내릴 수 있는지를 확인합니다. 1/(√ak+√ak+1) 꼴은 수열 단원에서 가장 자주 나오는 망원합 소재이고, 분모를 유리화하는 순간 가운데 항들이 모두 사라지면서 첫 항과 끝 항만 남습니다.
여기에 등차수열의 대칭성(a5+a9=2a7)을 붙여 두 개의 조건으로 a1과 공차 d를 동시에 결정하게 만든 것이 이 문항의 구성입니다. Level 2답게 아이디어 하나하나는 익숙하지만, 두 조건을 연결해 미지수 2개를 끝까지 정리하는 계산력이 필요합니다.
단계별 힌트
등차수열에서 첨자의 합이 같으면 항의 합도 같습니다. 5와 9의 평균이 7이므로 a5+a9는 a7을 두 번 더한 것과 같습니다. 이 성질 하나로 첫 번째 조건이 곧바로 정리됩니다.
두 번째 조건은 분모에 근호가 두 개 있는 분수의 합입니다. 중학교에서 배운 분모의 유리화를 떠올리고, 분모·분자에 √ak−√ak+1을 곱해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
유리화하면 분모는 ak−ak+1이 되는데, 등차수열이므로 ak+1−ak=d로 항상 일정합니다. 즉 각 항은 √ak+1−√akd 로 깔끔하게 바뀝니다.
이 형태를 k=1부터 6까지 더하면 가운데 항이 차례로 소거되어 √a7−√a1d 만 남습니다. 이것이 망원합(telescoping sum)입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
a7=25이므로 √a7=5입니다. 또 a7=a1+6d에서 d를 a1로 나타낼 수 있습니다. 이 둘을 (5−√a1)/d=2/3에 대입하면 a1에 대한 식 하나만 남습니다.
이때 25−a1=(5−√a1)(5+√a1)로 인수분해되는 것이 핵심입니다. 약분이 되면서 식이 한 줄로 정리됩니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① 31
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A등차수열의 대칭성으로 a7 구하기
공차를 d라 하면 a5+a9=2a7이므로 2a7=50, 즉 a7=25입니다. 따라서 a1+6d=25라는 관계식을 얻습니다.
STEP B분모를 유리화해 망원합으로 바꾸기
1/(√ak+√ak+1)의 분모·분자에 √ak+1−√ak를 곱하면 (√ak+1−√ak)/d가 됩니다. k=1부터 6까지 더하면 가운데가 모두 지워져 (√a7−√a1)/d, 즉 (5−√a1)/d=2/3입니다.
STEP Ca1과 d를 확정하고 a11 계산하기
d=(25−a1)/6을 대입하면 6(5−√a1)/(25−a1)=2/3이고, 25−a1=(5−√a1)(5+√a1)이므로 약분하여 6/(5+√a1)=2/3, 즉 5+√a1=9에서 √a1=4, a1=16입니다. 따라서 d=(25−16)/6=3/2이고 a11=16+10×(3/2)=31이므로 정답은 ①입니다.
1등급 다른 풀이 · a7을 기준점으로 잡고 계산하기
등차수열은 어느 항을 기준으로 잡아도 되므로, 이미 값을 아는 a7=25를 기준으로 두면 계산이 짧아집니다. a1=25−6d이므로 망원합 조건은 (5−√(25−6d))/d=2/3, 즉 15−3√(25−6d)=2d가 됩니다.
정리하면 3√(25−6d)=15−2d이고, 양변을 제곱해 9(25−6d)=225−60d+4d2에서 4d2−6d=0, 즉 d(2d−3)=0입니다. 모든 항이 양수라는 조건에서 d=0은 조건을 만족하지 않으므로 d=3/2이고, a11=a7+4d=25+6=31로 바로 답이 나옵니다. 마지막 항을 기준항으로 옮겨 더하는 습관을 들이면 첨자 계산 실수가 크게 줄어듭니다.
실수를 줄이는 전략
- 유리화할 때 부호를 주의하세요. 분자에 √ak−√ak+1을 곱하면 분모가 ak−ak+1=−d가 되어 전체에 음의 부호가 붙습니다. 처음부터 √ak+1−√ak를 곱하면 부호 실수를 피할 수 있습니다.
- 망원합의 끝 항 첨자를 잘못 세는 경우가 많습니다. k가 6까지이므로 남는 것은 √a7이지 √a6이 아닙니다.
- d=0인지 반드시 확인하세요. 모든 항이 양수이므로 d≥0인데, d=0이면 모든 항이 25로 같아 합이 6/(2×5)=3/5가 되어 조건을 만족하지 않습니다. 따라서 d>0이고, 양변 제곱 풀이에서 나온 d=0은 버려야 합니다.
- a11을 구할 때 a1+10d인지 a1+11d인지 헷갈리기 쉽습니다. 일반항은 a1+(n−1)d이므로 더하는 d의 개수는 항상 첨자보다 1 작습니다.
엄선된 풀이 영상
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