수능특강 수학Ⅰ 수열의 합과 수학적 귀납법 Level 2 4번

04
기본 필수
조건 해석

06 수열의 합과 수학적 귀납법
등차수열의 일반항
부분합의 증감과 항의 부호

출제의도

이 문항은 두 가지를 동시에 봅니다. 하나는 a_n+1=a_n+2라는 귀납적 정의를 곧바로 ‘공차가 2인 등차수열’로 바꿔 읽는 힘이고, 다른 하나는 Σ_k=1^m+1a_k<Σ_k=1^ma_k라는 부등식을 항의 부호 조건으로 번역하는 힘입니다.

계산으로 나온 a₁의 값이 두 개일 때, 둘 중 하나를 버리는 근거가 바로 조건 (나)입니다. 답이 두 개 나왔는데 어느 것을 골라야 할지 몰라 헤맸다면, 이 문제는 ‘조건이 왜 주어졌는지’를 묻는 문제였다고 생각하면 됩니다.

단계별 힌트

1단계 힌트를 먼저 읽고 직접 풀어보세요. 막히면 아래 버튼을 눌러 2단계, 3단계 힌트를 하나씩 열어 확인하면 됩니다.

힌트 1단계 · 먼저 떠올릴 개념

조건 (가)의 a_n+1−a_n=2는 ‘이웃한 두 항의 차가 항상 2’라는 뜻이므로, {a_n}은 공차가 2인 등차수열입니다. 첫째항만 모르므로 a₁을 문자로 두고 a_n=a₁+2(n−1)로 적어 두세요.

미지수가 a₁ 하나뿐이므로, Σ_k=1⁵a_ka_k+1=215는 a₁에 대한 방정식이 됩니다. 아직 조건 (나)는 쓰지 말고, 먼저 이 방정식을 세우는 것이 순서입니다.

힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요

a_k=2k+a₁−2, a_k+1=2k+a₁이므로 곱을 전개하면 k에 대한 이차식이 됩니다. 여기에 Σ_k=1⁵k²=55, Σ_k=1⁵k=15를 대입하면 a₁에 대한 이차방정식이 나옵니다.

조건 (나)는 합끼리의 비교처럼 보이지만, 두 합은 딱 한 항만 차이가 납니다. Σ_k=1^m+1a_k−Σ_k=1^ma_k를 실제로 계산해 보면 무엇이 남는지 확인하세요.

힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요

두 합의 차는 a_m+1이므로 조건 (나)는 ‘a_m+1<0인 자연수 m이 존재한다’, 즉 이 수열에 음수인 항이 있다는 뜻입니다. 이차방정식에서 얻은 두 개의 a₁ 중 모든 항이 양수가 되어 버리는 쪽은 이 조건을 만족시킬 수 없으므로 버리면 됩니다.

정답 확인 누르면 정답이 보여요

정답 ⑤ 5

상세 해설

수능특강 수학Ⅰ 수열의 합과 수학적 귀납법 Level 2 4번 상세 해설

풀이 흐름 한눈에 정리

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

STEP A일반항을 a₁로 표현하기

조건 (가)에서 {a_n}은 공차가 2인 등차수열이므로 a_n=a₁+(n−1)×2=2n+a₁−2입니다. 이제 남은 미지수는 a₁ 하나뿐입니다.

STEP B합의 조건으로 이차방정식 세우기

Σ_k=1⁵a_ka_k+1=Σ_k=1⁵(2k+a₁−2)(2k+a₁)=Σ_k=1⁵{4k²+(4a₁−4)k+a₁(a₁−2)}입니다. 여기에 Σk²=55, Σk=15를 대입하면 4×55+(4a₁−4)×15+5a₁(a₁−2)=5a₁²+50a₁+160이 됩니다.

이 값이 215이므로 a₁²+10a₁−11=0, 즉 (a₁−1)(a₁+11)=0에서 a₁=1 또는 a₁=−11입니다.

STEP C조건 (나)로 하나를 걸러내고 a₉ 구하기

Σ_k=1^m+1a_k−Σ_k=1^ma_k=a_m+1<0이어야 하므로 음수인 항이 있어야 합니다. a₁=1이면 a_n=2n−1로 모든 항이 양수라 조건을 만족시킬 수 없고, a₁=−11이면 a_n=2n−13이므로 a₂=−9처럼 음수인 항이 존재합니다. 따라서 a₉=18−13=5입니다.

1등급 다른 풀이 · 가운데 항을 문자로 두기

a₁을 문자로 두면 전개 과정에서 계수가 커집니다. 곱해지는 항이 a₁a₂부터 a₅a₆까지 여섯 개의 항에 걸쳐 있으므로, 그 한가운데인 a₃=t로 두면 식이 훨씬 대칭적으로 정리됩니다.

이때 여섯 항은 t−4, t−2, t, t+2, t+4, t+6이고, 이웃한 것끼리의 곱을 모두 더하면 5t²+10t+40입니다. 215와 같다고 놓으면 t²+2t−35=0, 즉 (t−5)(t+7)=0에서 t=5 또는 t=−7이 나옵니다.

조건 (나)에 따라 음수인 항이 있어야 하므로 t=−7, 즉 a₃=−7입니다. 구하는 값은 a₉=a₃+2×6=−7+12=5로 곧장 얻어집니다. 등차수열의 구간 합이나 곱의 합을 다룰 때 가운데 항을 기준으로 잡는 습관은 계산량을 크게 줄여 줍니다.

실수를 줄이는 전략

Σ_k=1⁵a_ka_k+1에는 a₆까지 등장합니다. 항이 다섯 개라고 해서 a₅까지만 쓰면 마지막 항 a₅a₆을 통째로 빠뜨리게 됩니다.
조건 (나)를 합의 크기 비교로만 읽고 넘어가면 답이 두 개로 남습니다. ‘항 하나만큼 차이가 난다 → 그 항이 음수다’까지 번역해야 조건이 쓰입니다.
m은 자연수이므로 음수여야 하는 항은 a_m+1, 즉 둘째항 이후의 항입니다. 첫째항만 음수인 수열이라면 조건을 만족시키지 못한다는 점을 구분해 두세요. (이 문제의 a_n=2n−13은 a₂부터 음수이므로 문제없습니다.)
Σk²은 n(n+1)(2n+1)/6이므로 n=5일 때 55입니다. 이 값을 50이나 45로 잘못 쓰면 이차방정식이 인수분해되지 않아 헤매게 됩니다.
마지막에 구하는 것은 a₁이 아니라 a₉입니다. a₁=−11을 찾은 순간 끝났다고 생각하지 말고 일반항에 n=9를 대입하는 단계까지 확인하세요.

엄선된 풀이 영상

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