수능특강 수학Ⅰ 수열의 합과 수학적 귀납법 Level 2 3번

03
기본 필수

06 수열의 합과 수학적 귀납법
시그마의 기본 성질
첨자 이동 k → k+1

출제의도

이 문항은 시그마 안에 들어 있는 상수항을 분리할 수 있는지, 그리고 a_k가 아니라 a_k+1이 들어 있는 합을 첨자가 같아지도록 옮겨 쓸 수 있는지를 확인합니다. 수열 {a_n}의 규칙은 전혀 주어지지 않았으므로 일반항을 구하려 하면 길을 잃습니다.

주어진 두 식을 그대로 두고 서로 빼서 원하는 합만 남기는 것이 이 문제의 핵심 동작입니다. 수열의 합 단원에서 계속 반복되는 사고이므로, Level 2 단계에서 이 감각을 확실히 잡아 두면 뒤의 어려운 문항이 훨씬 가벼워집니다.

단계별 힌트

1단계 힌트를 먼저 읽고 직접 풀어보세요. 막히면 아래 버튼을 눌러 2단계, 3단계 힌트를 하나씩 열어 확인하면 됩니다.

힌트 1단계 · 먼저 떠올릴 개념

시그마는 덧셈을 줄여 쓴 기호일 뿐이므로 Σ(A_k+B_k)=ΣA_k+ΣB_k로 자유롭게 쪼갤 수 있습니다. 특히 상수 c를 n번 더하면 Σ_k=1ⁿ c = cn이라는 점을 잊지 마세요.

이 성질로 두 조건에서 +1과 −1을 먼저 떼어내면, 남는 것은 Σ ka_k 꼴과 Σ ka_k+1 꼴 두 개입니다. 여기까지 정리하고 나면 무엇을 비교해야 할지가 보입니다.

힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요

두 번째 식에는 a_k+1이 들어 있어 첫 번째 식과 첨자가 어긋나 있습니다. 이럴 때는 k+1을 통째로 새 문자로 바꾸는 첨자 이동을 씁니다. k+1=j로 두면 k가 1부터 5까지 움직일 때 j는 2부터 6까지 움직이고, 계수 k는 j−1이 됩니다.

즉 Σ_k=1⁵ ka_k+1 = Σ_j=2⁶ (j−1)a_j가 됩니다. 이제 두 식 모두 첨자가 a_j 꼴이고 범위만 1부터인지 2부터인지 다를 뿐입니다.

힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요

두 식을 빼 보세요. 계수를 보면 k번째 자리에서 k−(k−1)=1이 되어 a_k의 계수가 모두 1로 정리됩니다. 범위가 2부터 시작하는 쪽에는 a₁항이 없으므로, 뺄셈 결과에 a₁이 그대로 살아남는다는 점만 조심하면 구하려는 합이 한 번에 나옵니다.

정답 확인 누르면 정답이 보여요

정답 27

상세 해설

수능특강 수학Ⅰ 수열의 합과 수학적 귀납법 Level 2 3번 상세 해설 1

풀이 흐름 한눈에 정리

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

STEP A상수항을 분리해 두 합을 깔끔하게 만들기

Σ_k=1⁶(ka_k+1)=Σ_k=1⁶ka_k+6=79이므로 Σ_k=1⁶ka_k=73입니다. 같은 방법으로 Σ_k=1⁵(ka_k+1−1)=Σ_k=1⁵ka_k+1−5=41이므로 Σ_k=1⁵ka_k+1=46입니다.

STEP B첨자를 옮겨 두 식의 모양을 맞추기

k+1=j로 놓으면 Σ_k=1⁵ka_k+1=Σ_k=2⁶(k−1)a_k=Σ_k=2⁶ka_k−Σ_k=2⁶a_k=46이 됩니다. 즉 Σ_k=2⁶ka_k=Σ_k=2⁶a_k+46입니다.

STEP Ca₁을 떼어 대입하고 마무리하기

Σ_k=1⁶ka_k=a₁+Σ_k=2⁶ka_k=73에 STEP B의 결과를 넣으면 a₁+Σ_k=2⁶a_k+46=73입니다. 따라서 Σ_k=1⁶a_k=a₁+Σ_k=2⁶a_k=73−46=27입니다.

1등급 다른 풀이 · 두 식을 그냥 빼 버리기

첨자만 맞춰 놓으면 대입 없이 한 줄로 끝납니다. 첨자 이동을 마친 두 식은 Σ_k=1⁶ka_k=73, Σ_k=2⁶(k−1)a_k=46입니다. 아래쪽 식을 위쪽 식에서 빼 보세요.

k=2부터 6까지는 계수가 k−(k−1)=1로 남고, 아래쪽 식에는 없던 k=1 자리의 1·a₁이 그대로 남습니다. 결국 좌변은 a₁+a₂+⋯+a₆, 즉 우리가 구하려는 합 자체가 되어 Σ_k=1⁶a_k=73−46=27이 바로 나옵니다. 계수가 k인 합과 계수가 k−1인 합을 빼면 계수가 1인 합이 남는다는 구조를 기억해 두면, 비슷한 유형에서 계산 시간을 절반으로 줄일 수 있습니다.

실수를 줄이는 전략

Σ_k=1⁶1은 1이 아니라 6입니다. 상수를 분리할 때 항의 개수를 곱하는 것을 빠뜨리는 실수가 가장 많습니다. 두 번째 식은 k가 5까지이므로 빼는 값이 5라는 점도 따로 확인하세요.
첨자를 옮길 때는 범위와 계수를 동시에 바꿔야 합니다. 범위만 2~6으로 고치고 계수를 k 그대로 두면 완전히 다른 식이 됩니다.
두 번째 조건에는 a₆까지 등장합니다. k가 5까지라고 해서 a₅까지만 나온다고 생각하면 첨자 이동의 방향을 반대로 잡게 됩니다.
마지막에 구하는 것은 Σka_k가 아니라 Σa_k입니다. 73이나 46을 그대로 답으로 적지 않도록 문제가 요구한 값을 다시 확인하세요.
수열 {a_n}의 개별 항은 결코 구할 수 없습니다. a₁의 값을 찾으려고 시간을 쓰고 있다면 접근을 바꿔야 한다는 신호입니다.

엄선된 풀이 영상

위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.

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