빈출 유형
함정 주의
로그의 정수 부분
구간별로 값이 같은 수열의 합
출제의도
이 문항은 k≤log2n<k+1이라는 조건을 2k≤n<2k+1로 바꿔 읽을 수 있는지를 먼저 묻습니다. 이렇게 바꾸면 an은 “n이 2의 거듭제곱 사이 어느 구간에 있는가”를 알려 주는 수열, 즉 log2n의 정수 부분이 됩니다.
핵심은 at−5=at+5라는 조건을 “10만큼 떨어진 두 수가 같은 구간 안에 들어간다”로 해석하는 것입니다. 구간의 길이가 충분히 길어야만 가능하므로 구간 길이 2p에 대한 부등식이 자연스럽게 나오고, 마지막에는 값이 같은 항의 개수를 세어 합을 구하는 계산으로 마무리됩니다. 조건 해석과 개수 세기가 한 문항에 겹쳐 있어 Level 2에서도 체감 난도가 높은 편입니다.
단계별 힌트
부등식에 로그가 들어 있으면 밑이 2인 지수 꼴로 바꿔 보세요. k≤log2n<k+1은 2k≤n<2k+1과 같은 뜻입니다.
그러면 an의 값이 어떻게 변하는지 직접 적어 보는 것이 가장 빠릅니다. a1=0, a2=a3=1, a4=…=a7=2, a8=…=a15=3처럼 같은 값이 덩어리로 이어지고, 그 덩어리의 길이가 1, 2, 4, 8로 늘어난다는 것을 확인하세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
at−5=at+5=p라 하면, t−5와 t+5가 모두 같은 덩어리 [2p, 2p+1) 안에 있어야 합니다. 즉 2p≤t−5이고 t+5<2p+1이어야 하므로 2p+5≤t<2p+1−5입니다.
이런 t가 존재하려면 이 구간에 정수가 하나라도 있어야 합니다. 두 끝값이 모두 정수이므로 (2p+1−5)−(2p+5)≥1이라는 부등식을 세울 수 있습니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
위 부등식을 정리하면 2p≥11이 되고, p는 음이 아닌 정수이므로 가능한 가장 작은 p를 찾을 수 있습니다. p가 작을수록 구간이 앞쪽에 있으므로 t의 최솟값 m은 그 p에서 나옵니다.
m을 구한 뒤에는 an=k가 되는 n이 2k부터 2k+1−1까지 모두 2k개라는 점을 이용해 값별로 묶어서 더하세요. 마지막 구간은 m에서 끊기므로 개수를 따로 세어야 합니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ⑤ 58
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건을 지수 꼴로 바꿔 an의 정체 밝히기
k≤log2n<k+1은 2k≤n<2k+1과 같으므로, 2k≤n<2k+1일 때 an=k입니다. 즉 an은 n이 속한 2의 거듭제곱 구간의 지수를 나타냅니다.
STEP B같은 구간에 들어갈 조건으로 부등식 세우기
at−5=at+5=p라 하면 2p≤t−5, t+5<2p+1이므로 2p+5≤t<2p+1−5입니다. 이 범위에 정수 t가 존재하려면 (2p+1−5)−(2p+5)≥1, 즉 2p≥11이어야 하므로 p=4가 가장 작은 값입니다.
STEP Cm을 확정하고 값별로 묶어 합 구하기
p=4일 때 24+5≤t<25−5이므로 t의 최솟값은 m=21입니다. an=k인 n은 2k+1−2k=2k개씩 있으므로 n=1부터 21까지의 합은 0×1+1×2+2×4+3×8+4×(21−15)=0+2+8+24+24=58입니다. 따라서 정답은 ⑤입니다.
1등급 다른 풀이 · 구간의 길이만 보고 판단하기
t−5와 t+5는 항상 10만큼 떨어져 있습니다. 두 수가 같은 구간 [2p, 2p+1) 안에 들어가려면 그 구간에 정수가 11개 이상 들어 있어야 하고, 구간에 들어 있는 정수의 개수는 정확히 2p개입니다. 따라서 2p≥11에서 곧바로 p≥4가 나옵니다.
p=4인 구간은 16부터 31까지이고, t−5≥16에서 t≥21, t+5≤31에서 t≤26이므로 조건을 만족하는 t는 21부터 26까지입니다. 그중 최솟값이 m=21입니다. 또 합을 구할 때는 n=1부터 15까지의 합이 0×1+1×2+2×4+3×8=34로 고정되어 있다는 점을 기억해 두면, 여기에 16부터 21까지 6개의 4를 더해 34+24=58로 바로 계산할 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 부등호의 방향과 등호 위치를 그대로 옮기세요. 2k≤n<2k+1에서 왼쪽은 포함, 오른쪽은 미포함입니다. 오른쪽에 등호를 붙이면 구간의 경계가 한 칸씩 밀려 개수가 전부 어긋납니다.
- t+5<2p+1을 t+5≤2p+1로 잘못 쓰면 t의 범위가 달라집니다. 정수 조건이므로 t+5≤2p+1−1로 바꿔 쓰는 편이 안전합니다.
- p를 작은 값부터 직접 확인해 보세요. p=3이면 구간이 8부터 15까지로 정수가 8개뿐이라 10만큼 떨어진 두 수를 담을 수 없습니다. 이렇게 반례를 확인하면 p=4가 최소임을 확신할 수 있습니다.
- 마지막 구간의 개수 세기에서 실수가 가장 많이 나옵니다. 16부터 21까지는 21−16+1=6개입니다. 21−15=6으로 계산해도 같지만, 어느 쪽이든 직접 세어 검산하세요.
- 문제의 t≥6 조건을 잊지 마세요. 이 문항에서는 답이 21이라 자동으로 만족되지만, t−5가 자연수여야 한다는 전제를 놓치면 다른 유형에서 틀리게 됩니다.
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