기초 필수
∑의 분배·상수배 성질
합을 미지수로 놓고 연립
출제의도
이 문항은 두 수열의 합이 섞여 있는 식을 ∑의 성질로 분리하고, 각각의 합을 미지수로 보아 연립방정식을 세울 수 있는지를 확인합니다. ∑9k=1ak와 ∑9k=1bk를 하나의 문자처럼 다루는 관점이 핵심입니다.
ak나 bk가 각각 무엇인지는 끝까지 알 수 없고 알 필요도 없습니다. ‘개별 항을 몰라도 합끼리의 관계만으로 답이 나온다’는 경험을 하게 하는 것이 이 문항의 목적이며, 이 감각은 Level 2 이후 ∑ 문항 전반에서 반복해서 쓰입니다.
단계별 힌트
∑는 덧셈·뺄셈으로 나눌 수 있고, 상수배는 밖으로 꺼낼 수 있습니다. 즉 ∑nk=1(ak+cbk)=∑nk=1ak+c∑nk=1bk입니다.
이 성질로 두 조건을 모두 풀어 쓰면, 모르는 값이 ∑9k=1ak와 ∑9k=1bk 두 개뿐인 식 두 개가 만들어집니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
∑9k=1ak=A, ∑9k=1bk=B로 놓아 보세요. 첫 번째 조건은 A+3B=25, 두 번째 조건은 2A−B=8이 됩니다.
문자가 두 개, 식도 두 개이므로 중학교에서 배운 연립방정식 그대로 풀면 됩니다. 두 번째 식을 B=2A−8로 정리해 첫 번째 식에 대입하는 것이 가장 간단합니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
대입하면 A+3(2A−8)=25에서 7A=49가 됩니다. A를 구한 뒤 B를 구하고, 문제가 묻는 것은 A도 B도 아닌 ∑9k=1(ak+bk)=A+B라는 점을 잊지 마세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ 13
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 조건을 합의 식으로 바꾸기
∑9k=1(ak+3bk)=∑9k=1ak+3∑9k=1bk=25 … ㉠, ∑9k=1(2ak−bk)=2∑9k=1ak−∑9k=1bk=8 … ㉡
STEP B연립해서 두 합 구하기
㉠, ㉡을 연립하면 ∑9k=1ak=7, ∑9k=1bk=6입니다.
STEP C구하는 값으로 마무리하기
∑9k=1(ak+bk)=∑9k=1ak+∑9k=1bk=7+6=13이므로 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · 두 식을 적절히 섞어 한 번에 구하기
A와 B를 따로 구하지 않고, 주어진 두 식을 몇 배씩 더해 곧바로 A+B를 만들 수도 있습니다. ㉠×3+㉡×2를 계산하면 좌변은 3(A+3B)+2(2A−B)=7A+7B=7(A+B)가 됩니다.
우변은 3×25+2×8=91이므로 7(A+B)=91, 즉 A+B=13입니다. 구하려는 식이 A+B처럼 단순한 조합일 때는 이렇게 계수를 맞춰 한 번에 묶는 편이 계산 실수가 적습니다.
실수를 줄이는 전략
- 상수배를 밖으로 꺼낼 때 계수를 빠뜨리기 쉽습니다. 3bk의 합은 3∑9k=1bk이지 ∑9k=1bk가 아닙니다.
- ak나 bk가 무엇인지 알아내려고 시도하지 마세요. 이 문항에서는 개별 항을 구할 수 없고, 구할 필요도 없습니다.
- 두 번째 조건의 −bk에서 부호를 놓치면 연립 결과가 완전히 달라집니다. ㉡을 B=2A−8로 옮길 때 부호를 한 번 더 확인하세요.
- A=7, B=6을 구한 뒤 7이나 6을 그대로 고르지 않도록 주의하세요. 묻는 것은 두 합을 더한 13입니다.