빈출 필수
∑의 기본 공식
A2−B2 인수분해
출제의도
이 문항은 ∑ 기호가 붙은 식을 보고 “그냥 전개할 것인가, 먼저 정리할 것인가”를 판단할 수 있는지를 확인합니다. (k+a)4을 그대로 펼치면 4차식이 나와 계산이 크게 늘어나지만, 두 항이 모두 제곱 꼴이라는 점을 알아채면 A2−B2=(A+B)(A−B)로 한 번에 차수를 낮출 수 있습니다.
차수를 낮춘 뒤에는 ∑k2, ∑k, ∑c의 기본 공식을 정확히 대입하는 계산력이 필요합니다. 식을 정리하는 안목과 공식 계산이라는 두 가지 기본기를 한 문항에서 함께 묻고 있어, 수열의 합 단원에서 반드시 짚고 넘어가야 하는 유형입니다.
단계별 힌트
두 ∑는 위끝과 아래끝이 같으므로 하나의 ∑로 묶을 수 있습니다. 즉 ∑k=15{(k+a)4−{k(k+2a)}2} 꼴로 먼저 합쳐 놓으세요.
그다음 괄호 안을 보면 (k+a)4={(k+a)2}2이므로 두 항이 모두 ‘무엇의 제곱’입니다. 제곱에서 제곱을 뺀 꼴이 보이면 전개하지 말고 인수분해를 떠올리세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
A=(k+a)2, B=k(k+2a)로 두면 A2−B2=(A+B)(A−B)입니다. 두 괄호를 각각 전개해 보세요.
특히 A−B=(k2+2ak+a2)−(k2+2ak)에서 k에 대한 항이 모두 지워지면서 상수 a2만 남는다는 점이 이 문항의 핵심입니다. 즉 ∑ 안의 식이 (2k2+4ak+a2)×a2처럼 2차식으로 낮아집니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
이제 ∑k=15(2k2+4ak+a2)를 공식으로 계산하면 됩니다. n=5일 때 ∑k2=5×6×116, ∑k=5×62, ∑a2=5a2입니다.
정리한 식을 250a2과 같다고 놓으면 a에 대한 방정식이 나옵니다. 양변에 a2이 공통으로 들어 있으므로 인수분해한 뒤, 마지막에 ‘양수 a’라는 조건으로 답을 하나만 고르는 것까지 잊지 마세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② 2
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A합의 차를 하나의 ∑로 묶고 인수분해하기
(k+a)4−{k(k+2a)}2={(k+a)2+k(k+2a)}{(k+a)2−k(k+2a)}로 인수분해합니다. 뒤쪽 괄호는 (k2+2ak+a2)−(k2+2ak)=a2으로 간단해집니다.
STEP B2차식의 ∑를 공식으로 계산하기
앞쪽 괄호는 2k2+4ak+a2이므로 주어진 식은 a2∑k=15(2k2+4ak+a2)입니다. ∑k2=55, ∑k=15, ∑a2=5a2을 대입하면 a2(110+60a+5a2)이 됩니다.
STEP C방정식을 풀고 조건에 맞는 값 고르기
a2(5a2+60a+110)=250a2에서 a2(a2+12a−28)=0, 즉 a2(a+14)(a−2)=0입니다. a=−14, 0, 2 중 양수는 a=2뿐이므로 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · a2으로 나누고 시작하기
STEP A에서 공통인수 a2이 나온 순간, 주어진 등식은 a2×(2차식의 합)=250a2 꼴이 됩니다. 구하는 것이 양수 a이므로 a≠0이고, 따라서 양변을 a2으로 나누어 ∑k=15(2k2+4ak+a2)=250만 계산해도 됩니다.
이렇게 하면 5a2+60a+110=250 → a2+12a−28=0으로 바로 2차방정식이 되어, 4차식을 다루는 부담 없이 (a+14)(a−2)=0에서 a=2를 얻습니다. 다만 이 방법은 a≠0을 먼저 확인한 뒤에만 쓸 수 있다는 점을 기억하세요.
실수를 줄이는 전략
- (k+a)4을 그대로 전개하지 마세요. 4차식 전개는 시간도 오래 걸리고 계수를 틀리기 쉽습니다. 제곱−제곱 꼴이 보이면 인수분해가 먼저입니다.
- a는 상수이고 더하는 문자는 k라는 점을 계속 의식하세요. ∑a2=5a2, ∑4ak=4a∑k처럼 a는 ∑ 밖으로 빼낼 수 있습니다.
- ∑k2 공식에 n=5를 대입할 때 n(n+1)(2n+1)6의 (2n+1)을 11이 아닌 10으로 쓰는 실수가 잦습니다. 55가 맞는지 꼭 확인하세요.
- a2(a+14)(a−2)=0에서 해가 세 개 나오지만 문제 조건은 ‘양수 a’입니다. a=0이나 a=−14를 답으로 고르지 않도록 마지막에 조건을 다시 읽으세요.