수능특강 수학Ⅰ 삼각함수 Level 2 7번

07
기본 필수

03 삼각함수
삼각함수의 성질
sin A=sin B의 해

출제의도

이 문항은 좌변은 사인, 우변은 코사인으로 서로 다른 삼각함수가 섞인 방정식을 한 종류로 통일할 수 있는지 확인합니다. cos(23π−2x)를 sin(2x−π6)으로 바꾸기만 하면 방정식은 sin A=sin B 꼴로 단순해집니다.

진짜 핵심은 그다음입니다. sin A=sin B라고 해서 A=B만 되는 것은 아닙니다. 사인함수의 그래프가 직선 x=π2에 대하여 대칭이라는 성질에서 A+B=π인 경우가 하나 더 나오며, 두 각의 범위를 확인해 이 두 경우 말고는 없다는 것까지 판단할 수 있는지가 정답을 가릅니다.

단계별 힌트

1단계 힌트를 먼저 읽고 직접 풀어보세요. 막히면 아래 버튼을 눌러 2단계, 3단계 힌트를 하나씩 열어 확인하면 됩니다.

힌트 1단계 · 먼저 떠올릴 개념

좌변은 sin, 우변은 cos이라 이대로는 두 식을 비교할 수 없습니다. 가장 먼저 할 일은 한 종류의 삼각함수로 통일하는 것입니다.

우변의 각 23π−2x를 π2+(π6−2x)로 쪼개 보세요. 그러면 cos(π2+θ)=−sin θ 공식을 바로 쓸 수 있는 모양이 됩니다.

힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요

우변은 −sin(π6−2x)이고, 사인은 홀함수이므로 이것은 sin(2x−π6)입니다. 따라서 방정식은 sin(x+π4)=sin(2x−π6)이 됩니다.

y=sin x의 그래프는 −π2<x<32π에서 직선 x=π2에 대하여 대칭입니다. 그래서 두 각 A, B가 모두 이 구간 안에 있으면 sin A=sin B는 ‘A=B’ 또는 ‘두 각의 평균이 π2‘, 즉 ‘A+B=π’ 두 경우뿐입니다.

힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요

0≤x≤π2에서 x+π4와 2x−π6의 범위를 각각 구해, 두 각이 모두 −π2와 32π 사이에 있는지 먼저 확인하세요. 확인이 끝나면 A=B인 경우와 A+B=π인 경우를 각각 일차방정식으로 풀고, 두 해가 0≤x≤π2를 만족하는지 본 뒤 더하면 됩니다.

정답 확인 누르면 정답이 보여요

정답 ④ 1318π

상세 해설

수능특강 수학Ⅰ 삼각함수 Level 2 7번 상세 해설

풀이 흐름 한눈에 정리

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

STEP A삼각함수의 종류를 사인으로 통일하기

cos(23π−2x)=cos(π2+π6−2x)=−sin(π6−2x)=sin(2x−π6)이므로 주어진 방정식은 sin(x+π4)=sin(2x−π6)이 됩니다.

STEP B두 각의 범위 확인하기

0≤x≤π2에서 π4≤x+π4≤34π, −π6≤2x−π6≤56π입니다. 두 각이 모두 −π2와 32π 사이에 있으므로, 사인 그래프의 대칭성에 의해 가능한 경우는 A=B 또는 A+B=π 두 가지뿐입니다.

STEP C두 경우를 풀고 해를 모두 더하기

(i) x+π4=2x−π6에서 x=π4+π6=512π입니다.

(ii) (x+π4)+(2x−π6)=π에서 3x=1112π, x=1136π입니다.

두 값 모두 0≤x≤π2를 만족하므로 모든 해의 합은 1536π+1136π=2636π=1318π이고 정답은 ④입니다.

1등급 다른 풀이 · 코사인으로 통일해 cos P=cos Q로 풀기

반대로 좌변을 코사인으로 바꿔도 됩니다. sin θ=cos(π2−θ)이므로 sin(x+π4)=cos(π4−x)이고, 방정식은 cos(π4−x)=cos(23π−2x)가 됩니다. 이 방법은 부호가 바뀌는 변환이 한 번도 없어서 부호 실수를 원천적으로 막아 줍니다.

코사인 그래프는 y축에 대하여 대칭이므로 cos P=cos Q이면 P=Q 또는 P=−Q입니다(여기에 2π의 정수배 차이는 x의 범위 때문에 생기지 않습니다). P=Q에서 π4−x=23π−2x, x=512π이고, P=−Q에서 π4−x=−23π+2x, 3x=1112π, x=1136π입니다. 같은 두 해가 훨씬 짧은 과정으로 나옵니다.

실수를 줄이는 전략

cos(π2+θ)=−sin θ에서 마이너스를 빠뜨리면 우변이 sin(π6−2x)로 잘못 바뀌어 전혀 다른 해가 나옵니다. 변환 후에는 −sin(π6−2x)=sin(2x−π6)처럼 부호를 괄호 안으로 넣어 깔끔하게 정리해 두세요.
sin A=sin B에서 A=B만 풀고 멈추는 실수가 가장 흔합니다. 사인 그래프의 대칭축 x=π2를 떠올려 A+B=π인 경우를 반드시 함께 확인하세요.
대칭성을 쓰기 전에 두 각의 범위부터 구하세요. 각의 범위가 −π2에서 32π까지를 벗어나면 2π 차이가 나는 경우 등 다른 경우가 추가될 수 있습니다.
선택지가 2336π부터 34π(=2736π)까지 136π 간격으로 촘촘하게 붙어 있습니다. 512π를 1536π로 통분할 때의 작은 실수가 곧 오답이 되므로 분모를 36으로 맞춰 차분히 더하세요.

엄선된 풀이 영상

위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요. 영상은 이 문항 풀이 구간(43:11)부터 재생됩니다.

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