기본 필수
여러 가지 각의 삼각함수
치환과 실근의 개수
출제의도
이 문항은 두 가지를 차례로 확인합니다. 먼저 sin²(3π−x)와 cos(π2+x)를 sin x 하나로 정리할 수 있는지, 다음으로 sin x=t로 치환했을 때 t의 값 하나가 x의 값 몇 개에 대응하는지를 따질 수 있는지입니다.
0≤x≤π에서 y=sin x의 그래프를 떠올리면, t가 0 이상 1 미만이면 x가 2개, t=1일 때만 x가 1개입니다. ‘오직 하나의 실근’이라는 조건을 t에 대한 조건으로 번역하는 이 과정은 삼각방정식의 실근 개수 문항에서 거의 매번 쓰이므로 반드시 익혀 두어야 합니다.
단계별 힌트
각이 복잡해 보이면 주기부터 이용해 각을 줄이세요. sin x의 주기는 2π이므로 sin(3π−x)=sin(π−x)이고, 이것은 다시 sin x와 같습니다. 제곱이 붙어 있으므로 sin²(3π−x)=sin²x입니다.
cos(π2+x)는 ‘π2가 붙으면 sin과 cos이 바뀐다’는 성질로 정리합니다. π2+x가 제2사분면의 각이라고 생각하면 cos 값은 음수이므로 −sin x가 됩니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
정리하면 방정식은 sin²x−a sin x+3a=0입니다. sin x=t로 두면 t²−at+3a=0이라는 이차방정식이 되고, 0≤x≤π이므로 t의 범위는 0≤t≤1입니다.
이제 0≤x≤π에서 y=sin x의 그래프와 수평선 y=t를 그려 보세요. t=0이면 x=0, π로 2개, 0<t<1이면 2개, t=1이면 x=π2 하나뿐입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
x가 오직 하나이려면 t에 대한 방정식의 근 중 0≤t≤1에 있는 것이 t=1 하나뿐이어야 합니다. 그러므로 t=1을 t²−at+3a=0에 대입해 a를 구해 보세요.
a를 구한 뒤에는 그 값을 다시 넣어 인수분해하고, 나머지 한 근이 0≤t≤1 밖에 있는지까지 확인하면 완벽합니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② −12
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A각을 정리해 sin x만의 식으로 바꾸기
sin²(3π−x)=sin²(π−x)=sin²x이고 cos(π2+x)=−sin x이므로, 주어진 방정식은 sin²x−a sin x+3a=0이 됩니다.
STEP B치환하고 t 하나가 만드는 x의 개수 세기
sin x=t라 하면 t²−at+3a=0이고 0≤t≤1입니다. 0≤t<1인 근이 하나라도 있으면 그에 대응하는 x가 2개가 되어 조건에 어긋나므로, 방정식의 근은 t=1이어야 합니다.
STEP Ct=1을 대입해 a 구하고 확인하기
1−a+3a=0에서 a=−12입니다. 이때 방정식은 (sin x+32)(sin x−1)=0이고, sin x=−32은 불가능하므로 x=π2 하나만 남습니다. 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · 정점을 지나는 직선으로 보기
t²−at+3a=0을 t²=a(t−3)으로 바꾸면, 곡선 y=t²(0≤t≤1)과 점 (3, 0)을 지나고 기울기가 a인 직선 y=a(t−3)의 교점을 찾는 문제가 됩니다. a가 변하면 직선은 점 (3, 0)을 중심으로 회전합니다.
교점의 t좌표가 1이어야 하므로 직선은 점 (1, 1)을 지나야 하고, 기울기는 1−01−3=−12입니다. 0≤t≤1에서 곡선 y=t²은 올라가고 이 직선은 내려가므로 두 그래프는 한 번만 만나고, 다른 교점이 생길 걱정도 없습니다. 기울기가 −12과 0 사이이면 교점이 0<t<1에 생겨 x가 2개가 된다는 것까지 그림으로 한눈에 보이는 풀이입니다.
실수를 줄이는 전략
- cos(π2+x)를 sin x로 부호 없이 바꾸는 실수가 가장 흔합니다. 부호가 바뀌면 방정식이 sin²x+a sin x+3a=0이 되어 a=−14처럼 선택지에 없는 값이 나오거나 엉뚱한 답을 고르게 됩니다.
- t의 범위를 −1≤t≤1로 잡지 않도록 주의하세요. x의 범위가 0≤x≤π이므로 sin x는 음수가 될 수 없습니다.
- ‘실근이 하나’를 ‘판별식 D=0’으로 바로 연결하면 틀립니다. t에 대한 중근이 0<t<1에 있으면 x는 2개가 되므로, 실근의 개수는 반드시 x 기준으로 세야 합니다.
- t=0도 x=0과 x=π 두 개를 만든다는 점을 놓치기 쉽습니다. 경계값에서 x가 몇 개인지 그래프로 꼭 확인하세요.
엄선된 풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.
“수능특강 수학Ⅰ 삼각함수 Level 2 6번”에 대한 1개의 생각