변별 포인트
삼각함수 그래프의 대칭성
두 직선의 교점
출제의도
이 문항은 두 삼각함수의 그래프가 만나는 점을 직접 계산하지 않고, 그래프의 주기와 대칭성만으로 네 점 A, B, C, D의 좌표를 한 문자 α로 나타낼 수 있는지를 확인합니다. sin x=−k cos x는 tan x=−k와 같으므로 두 교점의 x좌표는 정확히 π만큼 떨어져 있고, y=−k cos x의 그래프는 직선 x=π에 대하여 대칭, y=sin x의 그래프는 점 (π, 0)에 대하여 대칭입니다.
네 점의 좌표가 정리되고 나면 나머지는 두 직선의 교점 조건을 방정식으로 바꾸는 일입니다. 좌표를 α 하나로 통일하는 과정이 이 문항의 핵심이며, 여기서 막히면 직선의 방정식을 세우는 단계까지 가지 못합니다.
단계별 힌트
두 그래프가 만나는 점에서는 sin x=−k cos x가 성립합니다. 양변을 cos x로 나누면 tan x=−k가 됩니다. y=tan x의 주기는 π이므로, 이 방정식의 두 해는 정확히 π만큼 차이가 납니다.
따라서 점 A의 x좌표를 α라 하면 점 B의 x좌표는 π+α입니다. 이때 A(α, sin α)이고, sin(π+α)=−sin α이므로 B의 y좌표는 −sin α입니다. 또 tan α=−k<0이므로 α는 π2와 π 사이에 있다는 점도 확인해 두세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
cos(2π−x)=cos x이므로 y=−k cos x는 x와 2π−x에서 같은 값을 가집니다. 반면 sin(2π−x)=−sin x이므로 y=sin x는 x와 2π−x에서 부호만 반대인 값을 가집니다.
이 성질을 쓰면 A와 같은 높이에 있는 곡선 y=g(x) 위의 점 C의 x좌표도, B와 같은 높이에 있는 곡선 y=f(x) 위의 점 D의 x좌표도 α로 나타낼 수 있습니다. 두 점의 x좌표가 무엇이 되는지 직접 확인해 보세요. 놀랍게도 C와 D는 같은 세로선 위에 놓입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
C(2π−α, sin α), D(2π−α, −sin α)입니다. 이제 직선 AD와 직선 BC의 방정식을 각각 세우고, 두 직선 위에서 y좌표가 3sin α인 점의 x좌표를 구해 보세요. 두 직선이 같은 점에서 만나야 하므로 두 x좌표가 같다는 식에서 α가 나옵니다.
α를 구한 뒤에는 처음의 식 tan α=−k, 즉 k=−tan α에 대입하면 k의 값이 나옵니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ④ √33
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 교점 A, B의 좌표를 α로 나타내기
점 A의 x좌표를 α라 하면 sin α=−k cos α입니다. 양변에 −1을 곱하면 sin(π+α)=−k cos(π+α)도 성립하고 0<π+α<2π이므로, 또 다른 교점 B는 B(π+α, −sin α)입니다.
STEP B대칭성으로 C, D의 좌표 구하기
cos(2π−α)=cos α, sin(2π−α)=−sin α이므로, 점 A를 지나는 수평선이 y=g(x)와 다시 만나는 점은 C(2π−α, sin α)이고, 점 B를 지나는 수평선이 y=f(x)와 다시 만나는 점은 D(2π−α, −sin α)입니다.
STEP C두 직선의 교점 조건으로 α 구하기
직선 AD 위에서 y좌표가 3sin α인 점의 x좌표는 3α−2π이고, 직선 BC 위에서 y좌표가 3sin α인 점의 x좌표는 3π−3α입니다. 두 값이 같아야 하므로 3α−2π=3π−3α에서 α=56π입니다.
STEP Dk의 값 구하기
sin 56π=−k cos 56π에서 12=−k×(−√32)이므로 k=√33이고 정답은 ④입니다.
1등급 다른 풀이 · 중점 관계로 직선의 방정식 없이 풀기
sin α를 s라 하면 D의 y좌표는 −s, A의 y좌표는 s, 교점 P의 y좌표는 3s입니다. −s, s, 3s는 같은 간격으로 늘어서 있으므로, 세 점 D, A, P가 한 직선 위에 있다면 A는 선분 DP의 중점입니다. 같은 이유로 B(y좌표 −s), C(y좌표 s), P(y좌표 3s)에서 C는 선분 BP의 중점입니다.
따라서 P의 x좌표는 2×α−(2π−α)=3α−2π로도, 2×(2π−α)−(π+α)=3π−3α로도 나타낼 수 있고, 두 값이 같다는 식에서 바로 α=56π를 얻습니다. 기울기가 들어간 분수식을 정리할 필요가 없어 계산 실수가 크게 줄어듭니다. 마지막으로 k=−tan α=−tan 56π=√33입니다.
실수를 줄이는 전략
- 점 B의 x좌표를 2π−α처럼 대칭으로 잘못 잡는 실수가 많습니다. 두 곡선의 교점은 tan x=−k의 해이므로 간격은 대칭이 아니라 주기 π로 결정됩니다.
- C와 D는 서로 다른 곡선 위의 점이지만 x좌표가 둘 다 2π−α입니다. 이 사실을 그림에서 확인해 두면 좌표를 세울 때 헷갈리지 않습니다.
- 교점의 y좌표가 A의 y좌표의 3배라는 조건은 3sin α로 써야 합니다. 3α처럼 x좌표 쪽에 3을 곱하는 실수가 없도록 무엇의 3배인지 먼저 표시하세요.
- α를 구하고 멈추지 말고, k=−tan α에서 부호까지 확인하세요. tan 56π는 음수이므로 k는 양수가 되어 조건 0<k<1을 만족합니다. 선택지가 모두 특수각에서 나올 법한 값이므로, −tan 56π=1√3을 유리화한 √33까지 정확히 마무리하세요.
엄선된 풀이 영상
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