고난도
삼각함수의 그래프
교점의 개수와 경우 나누기
출제의도
이 문항은 두 구간으로 나누어 정의된 함수에서, 직선 y=t와의 교점 개수를 ‘t의 값에 따라 몇 개인가’로 정리하고 두 조각의 개수를 더해서 판단할 수 있는지를 확인합니다. 앞 조각 y=sin x는 모양이 고정되어 있고, 뒤 조각 y=a cos x+b는 a(위아래 폭)와 b(중심 높이)에 따라 움직입니다. 뒤 조각을 어디에 두어야 개수의 합이 3이 되는 t가 하나도 생기지 않는지를 찾는 문제입니다.
함정은 두 군데에 있습니다. 하나는 ‘3이 되지 않도록’이 ‘3보다 작도록’이라는 뜻이 아니라는 점이고, 다른 하나는 x=2π가 뒤 조각에서 빠져 있어 끝 높이에서의 교점 개수가 달라진다는 점입니다. 구간의 끝점 포함 여부가 답을 바꾸는 유형은 수능에서 자주 변별 포인트로 쓰이므로 이 문항으로 꼼꼼히 연습해 두세요.
단계별 힌트
두 조각을 한꺼번에 보지 말고 따로 세세요. 먼저 0≤x≤2π에서 y=sin x와 y=t의 교점 개수를 p(t)라 하고, t=0일 때, 0<|t|<1일 때, t=±1일 때, |t|>1일 때로 나누어 적어 보세요.
뒤 조각 2π<x≤4π에서는 x=2π가 빠져 있다는 점이 중요합니다. y=a cos x+b의 가장 높은 값 a+b는 x=2π에서는 만들어지지 않고 x=4π에서만 한 번 나오며, 가장 낮은 값 −a+b는 x=3π에서 한 번 나옵니다. 이 사실로 뒤 조각의 교점 개수 q(t)를 정리하세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
t=0에서 앞 조각만으로 이미 교점이 3개입니다(x=0, π, 2π). 합이 3이 되지 않으려면 뒤 조각이 t=0에서 교점을 적어도 1개 만들어 합을 4 이상으로 넘겨야 합니다. 즉 0이 −a+b 이상 a+b 이하에 들어가야 합니다.
그다음에는 합이 3이 되는 두 조합, 즉 (앞 2개, 뒤 1개)와 (앞 1개, 뒤 2개)가 생기지 않도록 막으면 됩니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
(앞 2개, 뒤 1개)를 막으려면 뒤 조각의 끝 높이 a+b와 −a+b가 0<|t|<1인 곳에 오면 안 됩니다. (앞 1개, 뒤 2개)를 막으려면 t=1과 t=−1이 −a+b와 a+b 사이(양 끝 제외)에 들어가면 안 됩니다. 두 조건을 합치면 a+b와 −a+b가 가질 수 있는 값이 각각 두 개로 좁혀집니다. 마지막에 a>0 조건을 꼭 확인하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ 3
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 조각의 교점 개수를 따로 정리하기
앞 조각의 교점 개수 p(t)는 t=0일 때 3, −1<t<0 또는 0<t<1일 때 2, t=±1일 때 1, t<−1 또는 t>1일 때 0입니다. 뒤 조각의 교점 개수 q(t)는 −a+b<t<a+b일 때 2, t=−a+b 또는 t=a+b일 때 1, 그 밖에서는 0입니다. x=2π가 제외되어 있기 때문에 t=a+b에서 q가 1이라는 점이 핵심입니다.
STEP Bt=0에서 합을 4 이상으로 만들기
p(0)=3이므로 q(0)=0이면 합이 정확히 3이 되어 조건에 어긋납니다. 따라서 q(0)≥1이어야 하고, −a+b≤0, a+b≥0입니다.
STEP C합이 3이 되는 경우를 하나씩 지우기
a+b>1이면 t=1에서 p=1, q=2가 되어 합이 3이고, 0<a+b<1이면 t=a+b에서 p=2, q=1이 되어 합이 3입니다. 따라서 a+b=0 또는 a+b=1입니다. 같은 방법으로 −a+b<−1이면 t=−1에서, −1<−a+b<0이면 t=−a+b에서 합이 3이 되므로 −a+b=−1 또는 −a+b=0입니다.
STEP D연립해서 순서쌍 세기
네 가지 조합을 풀면 (a, b)=(12, −12), (1, 0), (12, 12), (0, 0)이 나오는데, a>0이므로 (0, 0)은 제외됩니다. 따라서 조건을 만족시키는 순서쌍은 3개이고 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · 경계 높이 목록으로 한 번에 세기
교점의 개수는 직선 y=t가 그래프의 ‘경계 높이’를 지날 때만 바뀝니다. 앞 조각의 경계 높이는 t=−1, 0, 1 세 개뿐이고, 뒤 조각의 경계 높이는 −a+b와 a+b 두 개입니다. 뒤 조각의 경계 높이가 앞 조각의 경계 높이와 어긋나면 그 사이 구간에서 반드시 (2개, 1개) 또는 (1개, 2개) 조합이 생겨 합이 3이 됩니다.
따라서 뒤 조각의 경계 높이는 {−1, 0, 1} 중에서 골라야 하고, t=0을 포함해야 하므로 −a+b는 −1 또는 0, a+b는 0 또는 1입니다. 2×2=4가지 중에서 두 값이 모두 0인 경우는 a=0이 되어 제외되므로 답은 3개입니다. 조각별 개수 표를 매번 새로 만들지 않고 ‘경계 높이를 맞춘다’는 한 문장으로 정리할 수 있어, 비슷한 교점 개수 문항에서 시간을 크게 줄여 줍니다.
실수를 줄이는 전략
- 구간의 끝점 포함 여부를 가장 먼저 표시하세요. x=2π는 앞 조각에만 포함되므로, 뒤 조각의 가장 높은 값 a+b와 만나는 점은 x=4π 하나뿐입니다. 이것을 2개로 세면 경우 나누기 전체가 틀어집니다.
- ‘개수가 3이 되지 않도록’은 3보다 작게 하라는 뜻이 아닙니다. t=0에서는 이미 3개이므로, 뒤 조각이 교점을 더 만들어 4개 이상으로 넘기는 방향으로 생각해야 합니다.
- 연립해서 나온 4개의 순서쌍을 그대로 답으로 쓰면 ④를 고르게 됩니다. 문제의 a>0 조건으로 (0, 0)을 지우는 마지막 단계를 빼먹지 마세요.
- 답을 정한 뒤에는 t=−1, 0, 1과 뒤 조각의 끝 높이에서 교점 개수를 직접 세어 합이 3이 아닌지 검산하세요. 해설의 참고 그래프처럼 세 경우를 간단히 그려 보면 확인이 빠릅니다.
엄선된 풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요. 영상은 이 문항의 풀이가 시작되는 지점(37:14)부터 재생됩니다.