기본 필수
삼각함수가 포함된 부등식
인수분해와 부호 판정
출제의도
이 문항은 사인과 코사인이 뒤섞인 부등식을 한쪽으로 모아 두 식의 곱 꼴로 인수분해할 수 있는지 확인합니다. (cos x−√3 sin x)(2 cos x−√3)≤0 꼴이 보이면 나머지는 두 인수의 부호를 따지는 일입니다.
곱이 0 이하라는 조건은 ‘한 인수는 0 이상, 다른 인수는 0 이하’인 두 경우로 나뉘고, 각 경우에서 두 조건을 동시에 만족하는 x를 그래프로 찾아야 합니다. 특히 두 인수가 모두 x=π6에서 0이 되기 때문에 해에 따로 떨어진 점 하나가 생기는데, 이 점을 최솟값으로 잡아낼 수 있는지가 이 문항의 진짜 관문입니다.
단계별 힌트
우변을 좌변으로 넘겨 전개하면 cos2x, cos x, sin x, sin x cos x 네 종류의 항이 섞여 복잡해 보입니다. 이럴 때는 네 항을 두 개씩 묶어 공통인수를 찾는 인수분해를 시도하세요.
식 안에 ‘2 cos x−√3’와 비슷한 덩어리가 반복해서 보이는 것이 단서입니다. cos x로 묶이는 항과 sin x로 묶이는 항을 나누어 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
정리하면 (cos x−√3 sin x)(2 cos x−√3)≤0입니다. 두 수의 곱이 0 이하이려면 한쪽은 0 이상, 다른 쪽은 0 이하여야 합니다.
따라서 (i) √32≤cos x≤√3 sin x인 경우와 (ii) √3 sin x≤cos x≤√32인 경우로 나누어 각각 x의 범위를 구하고, 두 결과를 합치면 됩니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
경계가 되는 x의 값을 먼저 구하세요. cos x=√32에서 x=π6 또는 x=116π이고, cos x=√3 sin x, 즉 tan x=1√3에서 x=π6 또는 x=76π입니다.
y=cos x, y=√3 sin x, 직선 y=√32을 한 좌표평면에 그려 각 경우의 구간을 겹쳐 보세요. 구간끼리 겹치는 곳뿐 아니라 끝점 하나에서만 만나는 곳이 없는지도 꼼꼼히 확인해야 합니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ④ 53π
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A한쪽으로 모아 인수분해하기
전개하여 정리하면 2 cos2x−√3 cos x+3 sin x−2√3 sin x cos x≤0입니다. cos x(2 cos x−√3)−√3 sin x(2 cos x−√3)로 묶이므로 (cos x−√3 sin x)(2 cos x−√3)≤0이 됩니다.
STEP B경계가 되는 x의 값 구하기
cos x=√32에서 x=π6, 116π이고, tan x=1√3에서 x=π6, 76π입니다. x=π6이 두 식에서 모두 나온다는 점을 기억해 두세요.
STEP C두 경우의 구간을 겹쳐 보기
(i) cos x≥√32인 x는 0≤x≤π6 또는 116π≤x≤2π이고, cos x≤√3 sin x인 x는 π6≤x≤76π입니다. 공통부분은 x=π6 한 점뿐입니다.
(ii) √3 sin x≤cos x인 x는 0≤x≤π6 또는 76π≤x≤2π이고, cos x≤√32인 x는 π6≤x≤116π입니다. 공통부분은 x=π6 또는 76π≤x≤116π입니다.
STEP D최댓값과 최솟값 읽기
부등식을 만족시키는 x는 x=π6 또는 76π≤x≤116π입니다. 따라서 M=116π, m=π6이고 M−m=106π=53π이므로 정답은 ④입니다.
1등급 다른 풀이 · 경계점으로 나누고 부호표로 한 번에 판정하기
경우를 두 번 나누는 대신, STEP B에서 구한 경계점 π6, 76π, 116π로 0≤x≤2π를 네 구간으로 나누고 각 구간에서 대표값 하나씩만 대입해 두 인수의 부호를 확인하는 방법입니다. x=0에서는 (+)(+), x=π2에서는 (−)(−)로 곱이 양수이고, x=32π에서는 cos x−√3 sin x=√3>0, 2 cos x−√3=−√3<0이므로 곱이 음수, x=2π에서는 다시 (+)(+)입니다.
따라서 곱이 0 이하인 곳은 76π≤x≤116π와 곱이 0이 되는 경계점 x=π6입니다. x=π6에서는 두 인수가 동시에 0이 되어 그 좌우에서 곱의 부호가 바뀌지 않으므로, 해가 그 점 하나로 끝난다는 사실이 표에 그대로 드러납니다. 이런 ‘동시에 0이 되는 점’을 알아보는 감각은 삼각부등식 고난도 문항에서 자주 쓰입니다.
실수를 줄이는 전략
- 우변을 넘길 때 −(√3−2 cos x)cos x=−√3 cos x+2 cos2x처럼 부호가 모두 바뀝니다. 전개에서 부호 하나만 틀려도 인수분해가 되지 않으니, 묶이지 않는다면 전개부터 다시 확인하세요.
- tan x=1√3의 해를 π6 하나만 쓰고 76π를 빠뜨리기 쉽습니다. 탄젠트의 주기는 π이므로 0≤x≤2π에서 해는 두 개입니다.
- x=π6은 구간이 아니라 점 하나로만 해에 포함됩니다. 이 점을 놓쳐 최솟값을 76π로 잡으면 M−m=23π가 나오는데, 이 값은 선택지에 없으므로 다시 점검하라는 신호로 받아들이세요.
- 부등식에 등호가 포함되어 있으므로 경계점 π6, 76π, 116π는 모두 해에 들어갑니다. 최댓값과 최솟값은 결국 이 경계점 중에서 결정됩니다.
엄선된 풀이 영상
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