고난도
지수함수 그래프의 교점
원점과 잇는 직선의 기울기
출제의도
이 문항은 교점의 좌표를 직접 구할 수 없을 때, 그래프 위의 ‘기준점’을 잡아 교점의 위치를 좁혀 가는 능력을 확인합니다. 두 곡선이 만나는 점 P, Q는 방정식을 풀어서는 좌표가 나오지 않으므로, 계산하기 쉬운 x=-2, x=-1, x=0에서 두 함수의 값을 비교해 교점이 어느 구간에 있는지를 판단해야 합니다.
특히 ㄷ은 부등식 7(x1-x2)<6(y2-y1)을 ‘원점과 잇는 직선의 기울기’ 비교로 바꿔 읽을 수 있는지가 핵심입니다. 숫자 7과 6이 기울기 76을 암시하고, 이 값이 곡선 위의 점 (-1, 76)과 연결된다는 점을 알아차리는 것이 Level 3다운 관문입니다.
단계별 힌트
교점의 좌표는 직접 구할 수 없습니다. 대신 “특정한 x에서 어느 그래프가 위에 있는가?”를 비교하면 교점이 어느 구간에 있는지 알 수 있습니다. 그래프에서 P의 왼쪽에서는 절댓값 곡선이 위에 있고, P와 Q 사이에서는 아래에 있다는 점을 먼저 확인하세요.
y=|2-x-2|는 x=-1에서 값이 0이 되어 x축에 닿고, x=0에서는 값이 1입니다. 이 두 점이 ㄱ과 ㄴ을 판단하는 기준점이 됩니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
ㄱ은 x=-2에서 두 함수의 값을 계산해 대소를 비교하면 됩니다. 절댓값 곡선이 더 위에 있다면 x=-2는 P보다 왼쪽에 있는 것입니다. ㄴ은 Q가 x=-1과 x=0 사이의 증가하는 부분에 있다는 사실만으로 판단할 수 있습니다.
ㄷ은 식을 7x1+6y1<7x2+6y2로 정리해 보세요. 7x+6y=0은 원점을 지나고 기울기가 –76인 직선입니다. 곡선 y=-3x+32에 x=-1을 대입하면 어떤 점이 나오는지 확인해 보세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
곡선 위의 점 R(-1, 76)은 P와 Q 사이에 있습니다. 곡선을 따라 P → R → Q로 이동하면 원점과 잇는 직선은 점점 가파르게 기울어지므로, 직선 OP, OR, OQ의 기울기 크기 순서를 정할 수 있습니다. 그 부등식의 양변에 음수 x1, x2를 곱할 때 부등호 방향이 바뀌는 것에 주의하며 정리해 보세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Aㄱ · x=-2에서 두 함수의 값 비교하기
x=-2일 때 |22-2|=2이고, -3-2+32=2518입니다. 2가 더 크므로 x=-2에서는 절댓값 곡선이 위에 있고, 이는 x=-2가 교점 P보다 왼쪽에 있다는 뜻입니다. 따라서 x1>-2이므로 ㄱ은 참입니다.
STEP Bㄴ · 기준점 (0, 1)로 y2의 범위 정하기
곡선 y=|2-x-2|는 점 (-1, 0)과 (0, 1)을 지나고, 그 사이에서 증가합니다. Q는 이 증가 구간에 있고 x2<0이므로 y2는 x=0에서의 값 1보다 작습니다. 따라서 y2<1이므로 ㄴ은 참입니다.
STEP Cㄷ · 원점과 잇는 직선의 기울기로 바꾸기
곡선 y=-3x+32 위의 점 R(-1, 76)은 P와 Q 사이에 있으므로, 세 직선 OP, OR, OQ의 기울기는 y1x1>-76>y2x2 순서입니다.
왼쪽 부등식에 음수 x1을 곱하면 7x1+6y1<0, 오른쪽 부등식에 음수 x2를 곱하면 7x2+6y2>0입니다. 두 식에서 7x1+6y1<7x2+6y2, 즉 7(x1-x2)<6(y2-y1)이므로 ㄷ도 참이고 정답은 ⑤입니다.
1등급 다른 풀이 · ㄷ을 직선 PQ의 기울기로 보기
x1-x2<0이므로 ㄷ의 양변을 x1-x2로 나누어 정리하면 y2-y1x2-x1>-76, 즉 “직선 PQ의 기울기가 –76보다 크다”는 뜻이 됩니다. P, Q는 모두 곡선 y=-3x+32 위의 점이므로, 이 곡선의 두 점을 잇는 직선의 기울기를 비교하면 됩니다.
이 곡선은 위로 볼록해서 오른쪽으로 갈수록 더 가파르게 내려갑니다. 두 점 R(-1, 76)과 (0, 12)을 잇는 직선의 기울기는 –23인데, P와 Q는 각각 이 두 점보다 왼쪽(x1<-1, x2<0)에 있으므로 직선 PQ는 이보다 완만합니다. 따라서 직선 PQ의 기울기는 –23보다 크고, 당연히 –76보다도 큽니다. 부등식을 기울기로 번역하는 습관은 수능 그래프 추론 문항에서 계산을 크게 줄여 줍니다.
실수를 줄이는 전략
- 교점 좌표를 직접 구하려고 방정식을 풀기 시작하면 시간만 쓰고 답이 나오지 않습니다. 좌표를 구할 수 없는 교점은 계산하기 쉬운 x값에서 두 함수의 대소를 비교해 위치를 좁히세요.
- ㄱ에서 x=-2일 때 절댓값 곡선이 위에 있다는 결과를 “x1<-2″로 거꾸로 해석하는 실수가 많습니다. 그래프를 보고 P의 왼쪽에서 어느 곡선이 위에 있는지부터 확인하세요.
- 기울기 부등식 y1x1>-76의 양변에 x1을 곱할 때 x1<0이므로 부등호 방향이 바뀝니다. x2를 곱할 때도 마찬가지입니다.
- ㄷ처럼 계수가 특이한 부등식은 그 계수를 기울기나 기준점으로 바꿔 읽어 보세요. 7과 6은 곡선 위의 점 (-1, 76)을 가리키는 신호입니다.
엄선된 풀이 영상
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