TOUGH
ax=t 치환
절댓값 그래프와 구간 포함 조건
출제의도
이 문항은 a2x과 ax이 함께 있는 식을 보고 ax=t로 치환해 이차함수로 바꿀 수 있는지, 그리고 x의 범위를 t의 범위로 정확히 옮길 수 있는지를 확인합니다. 1≤x≤2이고 a>1이므로 t는 a부터 a2까지 움직이는데, 이 구간이 a에 따라 함께 늘어난다는 점이 문제의 핵심입니다.
치환 후에는 y=|t2−8t+7|의 그래프에서 함숫값이 5 이상인 부분을 찾고, 구간 [a, a2] 전체가 그 부분 안에 쏙 들어가야 한다는 조건을 부등식으로 세워야 합니다. ‘어떤 구간의 모든 값에서 성립한다’를 ‘구간이 통째로 포함된다’로 번역하는 힘을 묻는 Level 3다운 문항입니다.
단계별 힌트
a2x은 (ax)2과 같습니다. 그래서 ax=t로 놓으면 절댓값 안의 식은 t에 대한 이차식 t2−8t+7이 됩니다. 지수가 들어 있는 식을 익숙한 이차함수로 바꾸는 것이 첫 번째 할 일입니다.
치환했으면 반드시 t의 범위도 함께 구하세요. a>1이면 y=ax은 증가함수이므로, x가 1에서 2까지 움직일 때 t는 a에서 a2까지 움직입니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
g(t)=t2−8t+7=(t−1)(t−7)=(t−4)2−9이므로, y=|g(t)|의 그래프는 t=1, t=7에서 t축에 닿고, 그 사이에서는 아래로 볼록한 부분이 위로 뒤집혀 t=4일 때 높이 9인 봉우리가 생깁니다.
이 그래프에서 높이가 5 이상인 곳을 찾으려면 g(t)=5와 g(t)=−5를 각각 풀면 됩니다. 봉우리 쪽(가운데)과 오른쪽 바깥쪽, 이렇게 두 군데에서 조건을 만족하는 t의 범위가 나옵니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
x의 범위 전체에서 f(x)≥5가 성립해야 하므로, 구간 [a, a2]가 앞에서 찾은 두 범위 중 하나에 통째로 들어가야 합니다. 가운데 범위에 들어가는 경우와 오른쪽 범위에 들어가는 경우를 나누어 부등식을 세우고, 각각을 만족하는 자연수 a를 작은 것부터 나열해 보세요. 마지막에 a1, a3, a5만 골라 더하는 것도 잊지 마세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① 22
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Aax=t로 치환하고 t의 범위 구하기
ax=t (t>0)로 놓으면 f(x)=|t2−8t+7|입니다. a>1이므로 1≤x≤2에서 t의 범위는 a≤t≤a2입니다. 이제 문제는 “t가 a부터 a2까지 움직이는 동안 |g(t)|≥5가 항상 성립할 조건”으로 바뀝니다.
STEP B|g(t)|≥5가 되는 t의 범위 찾기
g(t)=5, 즉 t2−8t+2=0에서 t>1인 근은 t=4+√14이므로 오른쪽 바깥 범위는 t≥4+√14입니다. g(t)=−5, 즉 t2−8t+12=0에서 (t−2)(t−6)=0이므로 봉우리 쪽 범위는 2≤t≤6입니다. t>1에서는 이 두 범위만 조건을 만족합니다.
STEP C구간 [a, a2]를 두 범위에 넣어 자연수 a 나열하기
구간이 2≤t≤6에 들어가려면 2≤a이고 a2≤6이어야 하므로 2≤a≤√6, 자연수는 a=2뿐입니다. 구간이 t≥4+√14에 들어가려면 a≥4+√14이어야 하고, 4+√14는 7과 8 사이이므로 a=8, 9, 10, …입니다. 따라서 a의 값은 2, 8, 9, 10, 11, …이고 a1+a3+a5=2+9+11=22, 정답은 ①입니다.
1등급 다른 풀이 · 근 t=7이 구간에 들어가는지만 확인하기
|g(t)|는 t=7에서 0이 되므로, 구간 [a, a2]에 7이 들어가는 순간 조건은 바로 깨집니다. a≤7≤a2을 만족하는 자연수는 a=3, 4, 5, 6, 7이므로 이 다섯 개는 계산 없이 탈락입니다.
남은 경우만 확인하면 됩니다. a=2이면 t의 범위는 2≤t≤4이고, 이 구간에서 g(t)는 −5에서 −9까지 내려가므로 |g(t)|는 5 이상입니다. a≥8이면 t≥8에서 g(t)는 증가하고 g(8)=(8−1)(8−7)=7≥5이므로 항상 성립합니다. 따라서 a는 2, 8, 9, 10, 11, …입니다. 4+√14의 근삿값을 계산하지 않고도 경계를 정할 수 있어, 시험장에서 시간을 크게 줄여 주는 관점입니다.
실수를 줄이는 전략
- 치환한 뒤 t의 범위를 t>0으로만 두면 안 됩니다. 이 문항에서는 x의 범위가 주어졌으므로 t의 범위를 a≤t≤a2으로 좁혀야 조건을 세울 수 있습니다.
- “1≤x≤2일 때 f(x)≥5가 성립”은 구간 안의 모든 x에 대해 성립한다는 뜻입니다. 구간의 양 끝 a와 a2만 조건을 만족하는지 확인하면, 사이에 있는 t=7 같은 근을 놓쳐 a=3~7을 잘못 포함하게 됩니다.
- 4+√14를 7로 착각하거나 대충 어림하면 a=7을 넣는 실수가 생깁니다. √14는 3과 4 사이이므로 4+√14는 7보다 크고 8보다 작다는 것을 반드시 확인하세요.
- 마지막에 a1+a3+a5는 홀수 번째 항만 더하는 것입니다. 수열 2, 8, 9, 10, 11에서 2+8+9를 더하거나 다섯 개를 모두 더하지 않도록 첨자를 한 번 더 확인하세요.
엄선된 풀이 영상
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