기본 필수
상용로그의 활용
증가율·감소율 실생활 문제
출제의도
이 문항은 ‘매년 몇 % 증가, 몇 % 감소’라는 문장을 거듭제곱 식으로 옮기고, 상용로그로 n의 범위를 구할 수 있는지를 확인합니다. 4% 감소는 매년 0.96을 곱하는 것, 8% 증가는 매년 1.08을 곱하는 것이라는 번역이 정확해야 식이 바로 섭니다.
식을 세운 뒤에는 96과 108을 소인수분해해 밑을 2와 3으로 정리하는 과정이 들어갑니다. 1번 문항부터 반복된 ‘밑을 소수로 바꾸기’가 실생활 문제에서도 그대로 쓰인다는 점, 그리고 부등식의 해를 ‘처음으로’라는 조건에 맞게 자연수로 해석하는 마무리가 이 문항의 핵심입니다.
단계별 힌트
B국가의 GDP를 x라 하면 A국가의 GDP는 4x입니다. 매년 4%씩 감소하면 1년마다 (1−0.04)=0.96배가 되고, 매년 8%씩 증가하면 1년마다 1.08배가 됩니다.
따라서 n년 후 A국가는 4x×0.96n, B국가는 x×1.08n입니다. ‘B가 A보다 많아진다’를 부등식으로 쓰는 것에서 출발하세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
4x×0.96n<x×1.08n에서 x>0이므로 양변을 x로 나누고, 100n도 양변에서 약분하면 4×96n<108n이 됩니다.
이제 96=3×25, 108=22×33으로 소인수분해하고 지수법칙으로 2끼리, 3끼리 모으세요. 정리하면 23n+2<32n이라는 깔끔한 꼴이 나옵니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
양변에 상용로그를 취하면 (3n+2) log 2<2n log 3입니다. n이 있는 항을 한쪽으로 모아 (2 log 3−3 log 2)n>2 log 2로 만든 뒤, 주어진 값을 대입해 n의 범위를 구하세요. 구한 범위를 만족시키는 가장 작은 자연수가 답입니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ 12년
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A증가율·감소율을 거듭제곱 식으로 옮기기
B국가의 GDP를 x(x>0)라 하면 n년 후 A국가는 4x(1−4100)n, B국가는 x(1+8100)n입니다. 조건은 4x(96100)n<x(108100)n이고, 정리하면 4×96n<108n입니다.
STEP B소인수분해로 밑을 2와 3으로 정리하기
22×(3×25)n<(22×33)n에서 25n+2×3n<22n×33n이고, 양변을 22n×3n으로 나누면 23n+2<32n입니다.
STEP C상용로그를 취해 n의 범위 구하기
(3n+2) log 2<2n log 3에서 (2 log 3−3 log 2)n>2 log 2이고, 값을 대입하면 (0.9542−0.9030)n>0.6020, 즉 0.0512n>0.6020입니다. 따라서 n>11.757…이므로 B국가의 GDP가 처음으로 많아지는 것은 12년 후이고 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · 두 나라의 ‘비율’만 추적하기
A와 B의 GDP를 따로 계산하지 말고 B÷A라는 비율 하나만 보면 식이 훨씬 짧아집니다. 처음 비율은 14이고, 매년 비율은 1.08÷0.96=10896=98배씩 커집니다. 따라서 n년 후 비율은 14×(98)n이고, 이것이 1보다 커지는 조건은 (98)n>4입니다.
상용로그를 취하면 n(2 log 3−3 log 2)>2 log 2로 본 풀이와 똑같은 식이 소인수분해 과정 없이 바로 나옵니다. ‘두 양이 각각 일정한 비율로 변할 때 언제 역전되는가’를 묻는 문항은 증가율의 비를 먼저 약분하는 것이 가장 빠른 길입니다.
실수를 줄이는 전략
- 4% 감소를 0.04배로, 8% 증가를 0.08배로 쓰는 실수가 흔합니다. 감소는 (1−0.04), 증가는 (1+0.08)을 곱한다는 것을 식을 쓰기 전에 한 번 더 확인하세요.
- 2 log 3−3 log 2=0.0512처럼 비슷한 두 수를 빼는 계산은 작은 오차가 크게 번집니다. 문제에서 log 값을 소수 넷째 자리까지 준 이유이므로 주어진 값을 끝까지 그대로 쓰세요.
- 양변을 음수로 나누면 부등호가 뒤집힙니다. 2 log 3−3 log 2가 양수(0.0512)임을 확인한 뒤에 나누어야 부등호 방향이 유지됩니다.
- n>11.757…에서 반올림이나 버림으로 11을 고르면 안 됩니다. ‘처음으로 많아지는’ 해는 이 범위를 만족시키는 가장 작은 자연수인 12입니다.
엄선된 풀이 영상
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