수능특강 수학Ⅰ 지수함수와 로그함수 Level 2 7번

07
기본 필수
사고력

02 지수함수와 로그함수
상용로그의 활용
로그곡선과 직선의 대소 비교

출제의도

이 문항은 n¹⁰과 1.28ⁿ처럼 ‘밑에 변수가 있는 수’와 ‘지수에 변수가 있는 수’를 비교할 때, 양변에 로그를 취해 지수를 앞으로 끌어내릴 수 있는지를 확인합니다. 로그를 취하면 한쪽은 로그곡선, 다른 쪽은 직선이 되어 두 그래프의 위아래를 비교하는 문제로 바뀝니다.

핵심은 k의 정확한 값을 구하는 것이 아니라 k가 어느 두 거듭제곱 사이에 있는지만 판정하는 것입니다. 1.28=2⁷/10²으로 분해해 log 1.28=0.1을 얻고, n 자리에 2⁷과 2⁸을 넣어 부등식의 성립 여부를 따지는 ‘구간 판정’ 감각이 이 문항의 주제입니다.

단계별 힌트

1단계 힌트를 먼저 읽고 직접 풀어보세요. 막히면 아래 버튼을 눌러 2단계, 3단계 힌트를 하나씩 열어 확인하면 됩니다.

힌트 1단계 · 먼저 떠올릴 개념

n¹⁰과 1.28ⁿ은 모양이 달라 그대로는 크기를 비교하기 어렵습니다. 이럴 때는 양변에 로그를 취해 지수를 앞으로 내리는 것이 첫 동작입니다. 로그의 밑이 1보다 크면 부등호 방향은 그대로 유지됩니다.

그다음 1.28을 계산 가능한 수로 바꿔야 합니다. 1.28=128/100이고 128은 2를 7번 곱한 수입니다. 이것을 이용하면 주어진 log 2=0.3만으로 log 1.28의 값을 구할 수 있습니다.

힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요

log 1.28=log 2⁷−log 10²=7 log 2−2이므로 7×0.3−2=0.1입니다. 이 값을 쓰면 부등식이 매우 단순해집니다.

밑이 2인 로그를 취하면 10 log₂ n<n log₂ 1.28이고, 밑 변환 공식 log₂ 1.28=log 1.28÷log 2=0.1÷0.3=13입니다. 결국 곡선 y=10 log₂ x가 직선 y=13x보다 아래에 있게 되는 첫 번째 자연수를 찾는 문제가 됩니다.

힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요

k의 정확한 값은 필요 없습니다. 문제가 2^m과 2^m+1 사이를 묻고 있으므로, x 자리에 2의 거듭제곱을 차례로 넣어 보세요. 2⁷을 넣으면 log₂ 2⁷=7이라 좌변 계산이 바로 끝납니다. 2⁷에서는 부등식이 성립하지 않고 2⁸에서는 성립하는지 확인하면 m의 값이 정해집니다.

정답 확인 누르면 정답이 보여요

정답 7

상세 해설

수능특강 수학Ⅰ 지수함수와 로그함수 Level 2 7번 상세 해설

풀이 흐름 한눈에 정리

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

STEP Alog 1.28의 값 구하기

1.28=2⁷/10²이므로 log 1.28=7 log 2−2=7×0.3−2=0.1입니다. 소수로 된 밑을 ‘2의 거듭제곱 ÷ 10의 거듭제곱’으로 분해하는 것이 주어진 log 2 값만으로 계산을 끝내는 열쇠입니다.

STEP B로그를 취해 곡선과 직선의 비교로 바꾸기

부등식 n¹⁰<1.28ⁿ의 양변에 밑이 2인 로그를 취하면 10 log₂ n<n×0.10.3=13n입니다. 즉 곡선 y=10 log₂ x가 직선 y=13x 아래로 내려가는 첫 자연수가 k입니다.

STEP C2의 거듭제곱을 넣어 k의 범위 판정하기

x=2⁷일 때 10 log₂ 2⁷=70이고 2⁷3=1283≈42.7이므로 곡선이 위에 있어 부등식이 성립하지 않습니다. x=2⁸일 때 80과 2563≈85.3이므로 직선이 위에 있어 성립합니다. 따라서 k는 2⁷과 2⁸ 사이에 있고, 2^m<k<2^m+1을 만족시키는 m은 7입니다.

1등급 다른 풀이 · n=2^t로 놓고 한 줄 비교

상용로그를 그대로 취해도 됩니다. log n¹⁰<log 1.28ⁿ에서 10 log n<0.1n, 양변에 10을 곱하면 100 log n<n입니다. 여기서 n=2^t로 놓으면 log n=0.3t이므로 부등식은 30t<2^t로 바뀝니다.

이제 t에 7과 8만 넣어 보면 됩니다. t=7이면 210>128이라 성립하지 않고, t=8이면 240<256이라 성립합니다. 밑 변환 없이 곱셈 두 번으로 판정이 끝나므로, 답이 ‘2의 몇 제곱 사이’를 묻는 문항에서는 처음부터 n을 2^t로 두는 습관이 가장 빠릅니다.

실수를 줄이는 전략

log 1.28을 log 128−log 100으로 쪼갤 때 −2를 빠뜨리면 log 1.28=2.1이 되어 전체가 무너집니다. 1보다 조금 큰 수의 상용로그는 0보다 조금 큰 값이 나와야 한다는 감각으로 검산하세요.
n=2처럼 작은 수에서는 10 log₂ 2=10이 23보다 크므로 부등식이 성립하지 않습니다. ‘2 이상’이라는 조건이 붙은 이유가 이것이며, 곡선과 직선이 x가 작은 쪽에서도 한 번 만나기 때문입니다.
2⁸에서 성립한다는 것만으로 k≤2⁸은 보장되지만, 2⁸에서 차이가 약 5.3으로 넉넉하므로 교점은 2⁸보다 앞에 있습니다. 즉 k<2⁸이 되어 문제의 부등식이 등호 없이 성립합니다.
m은 k의 값이 아니라 지수입니다. k를 구하려고 끝까지 계산하다가 시간을 쓰거나, 답란에 2⁷=128을 쓰는 실수를 조심하세요.

엄선된 풀이 영상

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