기본 핵심
원점 대칭인 로그함수
네 점을 지나는 원
출제의도
이 문항은 두 로그함수의 그래프와 두 직선이 모두 원점에 대하여 대칭이라는 사실을 읽어 내고, 이를 이용해 네 점을 지나는 원의 중심을 좌표 계산 없이 결정할 수 있는지를 확인합니다. 중심이 원점으로 정해지면 반지름은 원점에서 교점까지의 거리로 바로 표현됩니다.
그다음 과정은 로그함수 위의 두 점을 같은 문자로 나타내고, 두 식에서 밑 p를 소거하는 것입니다. 밑을 모르는 로그 식 두 개가 주어졌을 때 밑을 없애고 진수끼리 비교하는 방법은 지수·로그함수 단원의 중요한 계산 기술이므로, 이 문항에서 확실히 익혀 두면 좋습니다.
단계별 힌트
y=−logp(−x)는 y=logpx에서 x를 −x로, y를 −y로 바꾼 식입니다. 즉 두 곡선은 원점에 대하여 대칭입니다. 원점을 지나는 직선도 원점에 대하여 대칭이므로, 점 A와 C, 점 B와 D는 각각 원점에 대하여 대칭인 점이 됩니다.
그렇다면 원점은 선분 AC의 중점이자 선분 BD의 중점입니다. 네 점을 지나는 원의 중심이 어디일지 먼저 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
원의 중심은 현의 수직이등분선 위에 있습니다. 두 직선의 기울기 12과 −2의 곱이 −1이므로 두 직선은 서로 수직이고, 선분 AC의 수직이등분선은 원점을 지나는 직선 y=−2x, 선분 BD의 수직이등분선은 직선 y=12x입니다. 두 수직이등분선의 교점인 원점이 원의 중심입니다.
이제 A(a, a2), B(b, −2b) (a>0, b>0)로 두고 OA=OB를 식으로 세워 b를 a로 나타내 보세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
b=a2이 나오면 두 점 A, B가 모두 곡선 y=logpx 위에 있다는 조건으로 식 두 개를 세웁니다. 두 식을 모두 “a=logp(□)” 꼴로 정리하면 밑이 같으므로 진수끼리 같다고 놓을 수 있습니다. 여기서 a3의 값이 나오고, r6=(r2)3임을 이용하면 계산이 깔끔하게 끝납니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ⑤ 12516
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A대칭성으로 원의 중심을 원점으로 확정하기
두 곡선과 두 직선이 모두 원점에 대하여 대칭이므로 원점은 선분 AC, BD의 공통 중점입니다. 또 두 직선이 서로 수직이므로 각 현의 수직이등분선이 다른 직선이 되고, 그 교점인 원점이 원의 중심입니다. 따라서 r=OA=OB입니다.
STEP BOA=OB로 두 점을 한 문자로 나타내기
A(a, a2), B(b, −2b)라 하면 OA2=54a2, OB2=5b2이므로 54a2=5b2, b=a2입니다. 즉 B(a2, −a)입니다.
STEP C밑 p를 소거해 a 구하기
A, B가 곡선 y=logpx 위에 있으므로 a2=logpa, −a=logpa2입니다. 첫 식에서 a=2logpa=logpa2, 둘째 식에서 a=−logpa2=logp2a입니다. 따라서 a2=2a, 즉 a3=2이고 a=21/3입니다.
STEP Dr6 계산하기
r2=OA2=54a2이므로 r6=(54a2)3=12564a6입니다. a6=(a3)2=4이므로 r6=12564×4=12516이고, 정답은 ⑤입니다.
1등급 다른 풀이 · 두 식을 빼서 logp2를 먼저 잡기
두 식 a2=logpa와 −a=logpa2에서, 둘째 식의 우변은 logpa−logp2이므로 −a=a2−logp2가 됩니다. 정리하면 logp2=3a2입니다.
그러면 logpa=a2=13×3a2=13logp2=logp21/3이므로 a=21/3이 곧바로 나옵니다. 두 식을 “빼서 공통 부분을 없애는” 방식은 연립방정식의 소거와 같은 감각이라 떠올리기 쉽고, 진수를 분수로 뒤집는 과정이 없어 부호 실수가 줄어듭니다. 마지막 계산에서도 r6=(r2)3으로 묶어 a6=4만 쓰면, 2−2/3×51/2처럼 복잡한 지수를 거치지 않아도 됩니다.
실수를 줄이는 전략
- “네 점이 한 원 위에 있다”는 조건을 보면 중심 좌표를 미지수로 두고 계산하기 쉬운데, 이 문항은 대칭성만으로 중심이 원점임이 정해집니다. 좌표를 두기 전에 대칭 관계부터 확인하세요.
- 점 B는 직선 y=−2x 위의 점이므로 y좌표는 −2b입니다. 부호를 2b로 쓰면 이후 식이 모두 틀어지니 제4사분면의 점이라는 것을 그림으로 확인하세요.
- −logpa2=logp2a처럼 로그 앞의 음수 부호를 진수의 역수로 옮길 때, 분모와 분자를 정확히 뒤집었는지 확인하세요.
- a3=2에서 a6을 2로 쓰는 실수를 조심하세요. a6=(a3)2=4입니다.
엄선된 풀이 영상
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