기본 핵심
절댓값이 있는 함수의 그래프
y축 대칭과 교점의 개수
출제의도
이 문항은 절댓값이 들어간 지수함수와 로그함수의 그래프를 직접 그려 보고, 그래프가 y축에 대하여 대칭이라는 사실을 교점의 개수와 연결할 수 있는지를 묻습니다. 식을 풀어 교점을 구하는 문제가 아니라, 그래프의 모양만으로 개수를 판단하는 문제입니다.
핵심은 두 함수 중 하나는 상수 a와 상관없이 교점의 개수가 이미 정해져 있다는 점을 알아차리는 것입니다. 그 개수를 먼저 확정하면 나머지 함수의 교점 개수가 자동으로 결정되고, 여기서 a의 값이 나옵니다. 교점의 개수를 조건으로 주고 미정계수를 구하는 유형은 지수·로그함수 단원에서 반복되므로, 이 흐름을 익혀 두는 것이 중요합니다.
단계별 힌트
x 대신 −x를 넣어도 |x|의 값은 변하지 않습니다. 그래서 f(x)와 g(x)는 모두 x≥0 부분의 그래프를 그린 뒤 y축에 대하여 접어 붙인 모양이 됩니다.
먼저 x>0일 때 두 함수가 각각 어떤 모양인지 떠올려 보세요. 하나는 오른쪽 위로 올라가는 지수함수, 다른 하나는 오른쪽 위로 천천히 올라가는 로그함수입니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
g(x)에는 a가 들어 있지 않습니다. 따라서 g(x)의 그래프와 직선 y=3의 교점 개수 q는 a와 상관없이 하나로 정해집니다. log2|x|=3을 만족시키는 x가 몇 개인지 먼저 세어 보세요.
q를 알면 p+q=3에서 p도 정해집니다. 그다음 f(x)의 그래프는 x=0에서 가장 낮은 점 (0, 1+a)를 갖는 V자에 가까운 곡선이라는 점을 떠올리세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
가장 낮은 점이 y=3보다 위에 있으면 교점은 0개, 아래에 있으면 좌우로 2개입니다. 교점이 딱 1개가 되려면 가장 낮은 점이 직선 y=3 위에 놓여야 합니다. 이 조건으로 a를 구한 뒤, g(a2)에는 a가 아니라 a2을 넣어야 한다는 점을 잊지 마세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ 2
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Aa와 무관한 q부터 확정하기
log2|x|=3이면 |x|=23=8이므로 x=8 또는 x=−8입니다. 즉 g(x)의 그래프와 직선 y=3은 항상 두 점에서 만나고 q=2입니다. 따라서 p+q=3에서 p=1이어야 합니다.
STEP B교점이 1개가 되는 조건으로 a 구하기
f(x)=2|x|+a의 그래프는 y축에 대하여 대칭이고 x=0에서 최솟값 f(0)=1+a를 갖습니다. 직선 y=3과 한 점에서만 만나려면 이 최저점이 y=3 위에 있어야 하므로 1+a=3, 즉 a=2입니다.
STEP Cg(a2) 계산하기
a2=4이므로 g(4)=log2|4|=log222=2입니다. 따라서 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · 대칭 그래프의 교점은 짝을 이룬다
y축에 대하여 대칭인 그래프가 수평선과 만나면, x>0 쪽의 교점과 x<0 쪽의 교점이 항상 짝을 지어 나타납니다. 짝이 없는 교점이 생길 수 있는 곳은 y축 위, 즉 x=0인 점뿐입니다. 따라서 x=0에서 만나지 않는 한 교점의 개수는 반드시 짝수입니다.
그런데 p+q=3은 홀수이므로 두 그래프 중 적어도 하나는 x=0에서 직선 y=3과 만나야 합니다. g(x)=log2|x|는 x=0에서 정의되지 않으므로, 결국 f(0)=3이어야 하고 1+a=3에서 a=2가 바로 나옵니다. 그래프를 다 그리지 않고도 “홀수 개면 y축 위의 점이 있다”는 한 줄로 결론에 도달하는 방법이라, 대칭 함수의 교점 개수 문항에서 시간을 크게 줄여 줍니다.
실수를 줄이는 전략
- log2|x|=3에서 x=8 하나만 쓰고 q=1로 세는 실수가 많습니다. 절댓값이 있으면 양수 쪽과 음수 쪽 해가 함께 나온다는 점을 먼저 확인하세요.
- f(x)의 최솟값을 a로 착각하지 마세요. 2|x|은 x=0에서 20=1이므로 최솟값은 1+a입니다.
- a=2를 구한 뒤 g(2)=log22=1을 답으로 고르면 ①이 됩니다. 묻는 값은 g(a)가 아니라 g(a2)라는 점을 마지막에 반드시 다시 읽으세요.
- 교점 개수 조건이 나오면 “a와 무관하게 개수가 정해지는 쪽”을 먼저 찾는 습관을 들이면, 경우를 나눌 필요가 줄어듭니다.
엄선된 풀이 영상
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