수능특강 수학Ⅰ 지수와 로그 Level 1 8번

08
기초 필수

01 지수와 로그
로그의 밑 변환
역수 관계 활용

출제의도

이 문항은 분모에 로그가 있는 1log_ab 꼴을 보고 log_ba로 뒤집을 수 있는지를 확인합니다. 괄호 안의 두 분수를 뒤집으면 밑이 2인 로그로 통일되고, 앞의 log₃2와 만나 곱이 1이 되는 구조가 드러납니다.

밑 변환 공식에서 바로 나오는 성질 log_ab×log_ba=1은 지수와 로그 단원 전체에서 계산을 줄여 주는 핵심 도구입니다. 식이 복잡해 보여도 9=3², 27=3³처럼 모든 수가 3의 거듭제곱이라는 점을 알아차리면 계산은 몇 줄로 끝납니다.

1단계 힌트를 먼저 읽고 직접 풀어보세요. 막히면 아래 버튼을 눌러 2단계, 3단계 힌트를 하나씩 열어 확인하면 됩니다.

힌트 1단계 · 먼저 떠올릴 개념

괄호 안의 두 분수는 모두 ‘1을 로그로 나눈’ 꼴입니다. 분모에 로그가 있으면 계산이 불편하므로, 이것을 분모 없는 로그 하나로 바꾸는 방법부터 떠올려 보세요.

그리고 식에 등장하는 9와 27이 각각 3을 몇 번 곱한 수인지도 미리 확인해 두세요.

힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요

로그의 역수는 밑과 진수를 서로 바꾼 로그와 같습니다. 식으로 쓰면 1log_ab=log_ba입니다. 예를 들어 1log₉2=log₂9입니다.

또한 진수의 지수는 앞으로 내릴 수 있으므로 log₂9=log₂3²=2log₂3입니다.

힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요

1log₂₇2도 같은 방법으로 바꾸면 괄호 안 전체가 log₂3의 몇 배로 정리됩니다. 마지막으로 log₃2×log₂3의 값을 생각해 보세요. 밑과 진수가 서로 바뀐 두 로그의 곱입니다.

정답 확인 누르면 정답이 보여요

정답 ⑤ 5

수능특강 수학Ⅰ 지수와 로그 Level 1 8번 상세 해설

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

STEP A분모의 로그를 뒤집기

1log₉2=log₂9, 1log₂₇2=log₂27이므로 주어진 식은 log₃2×(log₂9+log₂27)로 바꿔 쓸 수 있습니다.

STEP B진수를 3의 거듭제곱으로 정리하기

log₂9=log₂3²=2log₂3, log₂27=log₂3³=3log₂3이므로 괄호 안은 2log₂3+3log₂3=5log₂3입니다.

STEP C역수 관계로 마무리하기

log₃2×5log₂3=5×(log₃2×log₂3)=5×1=5이고 정답은 ⑤입니다.

밑의 지수는 log_a^mb=1mlog_ab처럼 역수가 되어 앞으로 나옵니다. 따라서 log₉2=12log₃2, log₂₇2=13log₃2이고, 괄호 안은 2log₃2+3log₃2=5log₃2입니다. 여기에 log₃2를 곱하면 바로 5가 됩니다.

이 방법은 식 안의 모든 로그를 log₃2 하나로 표현하므로, log₃2=t로 놓으면 t×5t=5처럼 문자 계산으로 바뀝니다. 여러 로그가 섞인 식을 공통 문자 하나로 통일하는 습관을 들이면 복잡한 문항에서도 흔들리지 않습니다.

위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.