기초 필수
로그의 밑 변환
상용로그로 나타내기
출제의도
이 문항은 b=log23log210라는 식을 보고 밑 변환 공식을 거꾸로 적용해 b=log 3임을 알아챌 수 있는지를 확인합니다. a와 b가 모두 상용로그로 정리되면, log30600도 상용로그의 분수로 바꾸어 a, b로 나타낼 수 있습니다.
문자로 주어진 로그 값으로 다른 로그를 표현하는 문제는 ‘밑을 공통으로 맞추고, 진수를 주어진 수의 곱으로 쪼갠다’는 두 동작의 결합입니다. 600과 30을 2, 3, 10의 곱으로 분해할 수 있는지가 이 문항의 핵심입니다.
단계별 힌트
먼저 b의 모양을 보세요. 분자와 분모가 모두 밑이 2인 로그입니다. 밑 변환 공식 logab=logcblogca를 오른쪽에서 왼쪽으로 읽으면, b는 하나의 로그로 합쳐집니다.
b가 어떤 로그인지 확인하고 나면 a와 b의 밑이 무엇으로 통일되는지 보일 것입니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
밑 변환 공식에 의해 log23log210=log103=log 3입니다. 이제 a=log 2, b=log 3이므로 log30600도 밑을 10으로 바꾸어 log 600log 30으로 쓰면 됩니다.
상용로그에서는 log 10=1, log 100=2라는 점을 적극적으로 활용하세요. 곱은 로그의 덧셈으로 바뀝니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
600과 30을 각각 2, 3, 10의 곱으로 나타내 보세요. 10의 거듭제곱은 log를 씌우면 자연수가 되므로, 분자와 분모는 a, b와 자연수의 합으로 정리됩니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① a+b+2b+1
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Ab를 상용로그로 정리하기
밑 변환 공식에 의해 b=log23log210=log103=log 3입니다. 따라서 a=log 2, b=log 3으로 두 문자 모두 상용로그입니다.
STEP Blog30600을 상용로그로 바꾸기
밑을 10으로 바꾸면 log30600=log 600log 30입니다.
STEP C진수를 쪼개어 a, b로 나타내기
log 600=log (2×3×102)=log 2+log 3+2=a+b+2이고, log 30=log (3×10)=log 3+1=b+1입니다. 따라서 log30600=a+b+2b+1이고 정답은 ①입니다.
1등급 다른 풀이 · 600=30×20으로 밑을 먼저 떼어 내기
600은 밑 30의 20배이므로 log30600=log30(30×20)=1+log3020으로 쓸 수 있습니다. 여기서 log3020=log 20log 30=log 2+1log 3+1=a+1b+1입니다.
따라서 1+a+1b+1=(b+1)+(a+1)b+1=a+b+2b+1으로 같은 결과가 나옵니다. 구하는 로그의 진수가 밑의 배수라면 밑을 먼저 떼어 내 1을 만드는 방법이 유용하고, 본 풀이의 검산 용도로도 좋습니다.
실수를 줄이는 전략
- b=log23log210를 log23−log210이나 log2310으로 바꾸면 안 됩니다. 로그끼리의 나눗셈은 밑 변환 공식으로 처리해야 합니다.
- 600을 6×100으로 보면 log 600=log 2+log 3+2가 바로 보입니다. log 100=2를 빠뜨리고 a+b만 남기는 실수를 조심하세요.
- 분모 log 30은 3×10이므로 b+1입니다. 선택지 ④, ⑤처럼 분모에 a가 들어간 식은 30을 잘못 분해했을 때 나오는 모양이므로 분모를 한 번 더 확인하세요.
- a와 b의 정의가 뒤바뀌지 않도록 풀이를 시작할 때 a=log 2, b=log 3을 식 옆에 적어 두세요.
엄선된 풀이 영상
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