수능특강 수학Ⅰ 지수와 로그 Level 1 7번

07
기초 필수

01 지수와 로그
로그의 기본 성질
거듭제곱근을 유리수 지수로

출제의도

이 문항은 로그의 진수에 거듭제곱근과 분수가 섞여 있을 때, 이를 “2의 몇 제곱인가?”로 바꿔 볼 수 있는지를 확인합니다. ³√2와 1⁴√8을 모두 2의 유리수 지수 거듭제곱으로 바꾸기만 하면, log₂2^k=k라는 가장 기본적인 성질 하나로 계산이 끝납니다.

거듭제곱근을 유리수 지수로 바꾸는 규칙과 역수를 음의 지수로 바꾸는 규칙이 한 문항에 함께 들어 있습니다. 두 변환이 자연스럽게 이어져야 뒤에 나오는 로그 계산 문항에서 진수를 빠르고 정확하게 정리할 수 있습니다.

1단계 힌트를 먼저 읽고 직접 풀어보세요. 막히면 아래 버튼을 눌러 2단계, 3단계 힌트를 하나씩 열어 확인하면 됩니다.

힌트 1단계 · 먼저 떠올릴 개념

로그의 밑이 2이므로 진수를 모두 ‘2의 몇 제곱’ 꼴로 바꾸는 것이 목표입니다. ³√2는 2의 세제곱근이고, ⁴√8 안의 8은 2를 세 번 곱한 수, 즉 2³입니다.

먼저 두 진수를 2의 거듭제곱이 보이는 모양으로 다시 써 보세요. 분모에 있는 수도 ‘2의 몇 제곱’으로 바꿀 수 있습니다.

힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요

거듭제곱근은 ⁿ√a^m=a^m/n으로 바꿀 수 있습니다. 근호의 지수는 분모로, 안쪽 지수는 분자로 간다고 기억하면 쉽습니다. 예를 들어 ³√2=2^1/3이므로 log₂³√2=13입니다.

분모에 있는 거듭제곱은 1a^k=a^−k처럼 지수의 부호를 바꾸어 분자로 올릴 수 있습니다. 여기에 log_aa^k=k를 쓰면 로그 값은 지수 그 자체가 됩니다.

힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요

⁴√8=⁴√2³을 유리수 지수로 바꾸고, 분모에 있으므로 지수의 부호를 바꾸어 보세요. 두 로그 값이 각각 분수로 나오면 분모를 12로 통분해 더하면 됩니다.

정답 확인 누르면 정답이 보여요

정답 ⑤ −512

수능특강 수학Ⅰ 지수와 로그 Level 1 7번 상세 해설

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

STEP A진수를 2의 거듭제곱으로 바꾸기

³√2=2^1/3이고, 8=2³이므로 ⁴√8=⁴√2³=2^3/4입니다. 따라서 1⁴√8=12^3/4=2^−3/4으로 바꿔 쓸 수 있습니다.

STEP Blog₂2^k=k로 계산하기

log₂2^1/3=13, log₂2^−3/4=−34입니다. 따라서 13−34=412−912=−512이고 정답은 ⑤입니다.

밑이 같은 로그의 합은 log_aM+log_aN=log_aMN으로 합칠 수 있습니다. 주어진 식은 log₂(2^1/3×2^−3/4)=log₂2^1/3−3/4=log₂2^−5/12이므로 곧바로 −512이 됩니다.

밑이 같은 로그가 여러 개 더해지거나 빼질 때는 먼저 하나의 로그로 합친 뒤 진수를 정리하는 편이 계산 줄 수가 적습니다. 로그가 세 개 이상 나오는 문항일수록 이 방법의 효과가 커지므로, 쉬운 문항에서 미리 연습해 두면 좋습니다.

⁴√8을 2^4/3으로 쓰는 실수가 자주 나옵니다. 근호의 지수 4는 분모, 안쪽 지수 3은 분자라는 순서를 반드시 확인하세요.
분모에 있는 거듭제곱을 분자로 올릴 때는 지수의 부호가 바뀝니다. 12^3/4을 2^3/4으로 두면 두 번째 로그 값의 부호가 뒤집혀 답이 양수로 나옵니다.
13−34은 분모 12로 통분해 412−912로 계산하세요. 분자끼리, 분모끼리 따로 빼는 실수를 조심해야 합니다.
선택지가 모두 음의 분수로 비슷하게 생겼으므로 답은 통분 결과에서 갈립니다. 마지막 뺄셈을 한 번 더 검산하고 답을 고르세요.

위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.