“
선분 위의 점 P에 대하여 특정 각이 90도가 될 조건을 이용하는 고난도 문제입니다. 원주각의 성질을 활용합니다.
접근법:
1. 각 APB=90°를 만족하는 점 P는, **선분 AB를 지름으로 하는 원** 위에 있습니다.
2. 먼저 선분 AB를 지름으로 하는 원의 방정식을 구합니다.
3. 점 P는 이 원 위에도 있으면서, 동시에 선분 CD 위에도 있어야 합니다. 즉, **원과 선분 CD의 교점**이 P가 될 수 있습니다.
4. 따라서 ‘원과 직선 CD가 만날 조건’ (원의 중심과 직선 CD 사이의 거리가 반지름보다 작거나 같다)을 이용해 t의 범위를 구합니다.
주의할 점:
‘각이 90도’라는 조건을 ‘지름에 대한 원주각’으로 해석하여 원의 방정식을 떠올리는 것이 문제 해결의 핵심입니다.
”
각이 90도가 되는 점의 자취와 교점
“
한 직선이 두 원과 만나는 교점의 개수에 대한 조건을 만족하는 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 교점의 총합이 3개가 되는 경우는, 직선이 한 원과는 접하고(교점 1개), 다른 원과는 서로 다른 두 점에서 만나는(교점 2개) 경우입니다.
2. (경우 1) 직선이 첫 번째 원에 접하고, 두 번째 원과 두 점에서 만나는 k값을 찾습니다.
3. (경우 2) 직선이 두 번째 원에 접하고, 첫 번째 원과 두 점에서 만나는 k값을 찾습니다.
4. 두 경우에서 나온 모든 k값의 합을 구합니다.
주의할 점:
각 경우에 대해 접할 조건(d=r)과 두 점에서 만날 조건(d
”
교점의 총 개수가 3개일 조건
“
주어진 점들을 지나는 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만날 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 원점과 두 점 (4,0), (0,2)를 지나는 원의 방정식을 구합니다. (세 점이 직각삼각형을 이루므로, 빗변이 지름이 됨을 이용하면 쉽습니다.)
2. 구한 원의 중심과 반지름을 찾습니다.
3. 원의 중심과 직선 x-2y+k=0 사이의 거리가 반지름보다 작다는 부등식을 세웁니다.
4. k에 대한 절댓값 부등식을 풀어 범위를 찾고, 자연수 k의 최댓값을 구합니다.
주의할 점:
세 점이 주어졌을 때, 직각삼각형인지 먼저 확인하는 습관을 들이면 원의 방정식을 매우 쉽게 구할 수 있습니다.
”
세 점을 지나는 원과 직선의 교점 조건
“
원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만날 조건을 이용해 기울기의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심 (0,2)와 반지름 1을 찾습니다.
2. 원의 중심과 직선 y=mx+4 사이의 거리가 반지름 1보다 작다는 부등식을 세웁니다.
3. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 m에 대한 분수 형태의 부등식을 만듭니다.
4. 양변을 정리하고 제곱하여 m에 대한 이차부등식을 풀면 m의 범위를 구할 수 있습니다.
주의할 점:
분수 부등식을 풀 때, 분모는 항상 양수이므로 양변에 곱해도 부등호의 방향이 바뀌지 않습니다. 양변을 제곱할 때도 양수임을 확인해야 합니다.
”
기울기가 주어진 원과 직선의 교점 범위
“
중심이 정해진 원이 직선과 서로 다른 두 점에서 만날 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 넓이가 16π 이므로 반지름의 길이는 4입니다.
2. 원의 중심 (k, 6)과 직선 3x+4y+6=0 사이의 거리가 반지름 4보다 작아야 합니다.
3. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 k에 대한 절댓값 부등식을 세웁니다.
4. 부등식을 풀어 k의 범위를 찾고, 이 범위에 포함되는 정수의 개수를 셉니다.
주의할 점:
문제에서 주어진 정보(넓이)를 통해 반지름을 먼저 확정해야 합니다. 이후의 풀이는 418, 419번과 동일합니다.
”
넓이가 주어진 원과 직선의 교점 조건
“
418번 문제와 동일하게, 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만날 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심(1, a)과 반지름(√20)을 찾습니다.
2. 원의 중심과 직선 2x+y+a=0 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 구합니다.
3. 이 거리가 반지름보다 작다는 부등식을 세웁니다.
4. a에 대한 절댓값 부등식을 풀고, 그 범위에 포함되는 정수의 개수를 셉니다.
주의할 점:
원의 중심과 직선의 방정식에 모두 미지수 a가 포함되어 있습니다. 당황하지 말고 그대로 공식에 대입하여 부등식을 풀면 됩니다.
”
서로 다른 두 점에서 만나는 미지수 범위
“
원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만날 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려면, **원의 중심에서 직선까지의 거리가 반지름의 길이보다 짧아야** 합니다.
2. 주어진 원의 중심(0,0)과 반지름(√10)을 찾습니다.
3. 원의 중심과 직선 y=-3x+k 사이의 거리를 k를 포함한 식으로 나타냅니다.
4. ‘거리 5. 부등식을 만족하는 정수 k의 개수를 셉니다.
주의할 점:
원과 직선의 위치 관계(두 점/한 점/만나지 않음)에 따른 ‘중심과 직선 사이의 거리’와 ‘반지름’의 대소 관계를 정확히 기억해야 합니다.
”
서로 다른 두 점에서 만날 조건 (d
“
두 직선에 모두 접하고, 특정 점을 지나는 원을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 두 직선은 y축에 대해 대칭이므로, 원의 중심은 y축 위에 있습니다. 중심을 (0,b)로 설정합니다.
2. 원의 중심 (0,b)에서 두 직선까지의 거리는 반지름으로 같습니다. 이 조건을 이용해 b에 대한 절댓값 방정식을 풉니다.
3. 원이 점 (2,0)을 지난다는 조건을 이용해, 중심과 반지름 사이의 관계식을 하나 더 얻습니다.
4. 두 조건을 연립하여 가능한 원의 중심과 반지름을 모두 찾습니다.
5. 문제의 조건에 맞는 두 원의 중심 사이의 거리를 구합니다.
주의할 점:
두 접선이 주어졌을 때, 원의 중심은 두 접선이 이루는 각의 이등분선 위에 있다는 성질을 활용하면 중심의 자취를 쉽게 파악할 수 있습니다.
”
두 직선에 접하고 한 점을 지나는 원
“
중심이 직선 y=x 위에 있고, x축과 y축에 동시에 접하며, 다른 직선과도 접하는 원을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 중심이 y=x 위에 있고 축에 동시에 접하므로, 중심을 (a,a), 반지름을 |a|로 설정할 수 있습니다.
2. 이 원이 직선 3x-4y+12=0과도 접하므로, 중심 (a,a)와 이 직선 사이의 거리가 반지름 |a|와 같다는 등식을 세웁니다.
3. a에 대한 절댓값 방정식을 풀면, 조건을 만족하는 두 개의 a값이 나옵니다.
4. 두 원의 중심은 각각 (a₁, a₁) 과 (a₂, a₂) 이 됩니다. 두 중심 사이의 거리를 계산하여 제곱한 값을 구합니다.
주의할 점:
여러 접촉 조건이 주어졌을 때, 각 조건을 식으로 정확히 옮기는 것이 중요합니다.
”
x,y축과 직선 y=x에 동시 접촉
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원과 직선이 접할(한 점에서 만날) 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 두 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 방정식을 먼저 구합니다. (중심과 반지름 찾기)
2. 이 원과 직선 kx+y-2=0이 한 점에서 만나므로, 원의 중심에서 이 직선까지의 **거리가 반지름과 같다**는 등식을 세웁니다.
3. 이 등식은 k에 대한 방정식이 되며, 양변을 제곱하여 정리하면 k에 대한 이차방정식을 얻을 수 있습니다.
4. 이차방정식을 풀어 ‘양수 k’라는 조건에 맞는 답을 찾습니다.
주의할 점:
원의 접선 문제는 판별식 D=0을 이용할 수도 있지만, ‘중심과 직선 사이의 거리 = 반지름’을 이용하는 것이 계산이 더 간편한 경우가 많습니다.
”
한 점에서 만날(접할) 조건
