거듭제곱근은 고등수학 지수함수와 로그함수 단원의 출발점입니다. 내신과 수능 모두에서 첫 번째로 출제되는 개념이기 때문에, 여기서 정의와 성질을 확실히 잡아 두면 이후 지수의 확장 → 로그 → 지수함수·로그함수까지 자연스럽게 연결됩니다.
이 글에서는 거듭제곱의 정의부터 n제곱근의 정의, 거듭제곱근의 성질 5가지, 그리고 실수인 거듭제곱근의 개수 판별법까지 한 번에 정리합니다.
1. 거듭제곱이란?
같은 수 a를 n번 곱한 것을 a의 n제곱이라 하고, 기호로 aⁿ으로 나타냅니다.
- a : 밑(base)
- n : 지수(exponent) — 자연수
예를 들어 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, (-3)⁴ = (-3)×(-3)×(-3)×(-3) = 81입니다.
2. 거듭제곱근(n제곱근)의 정의
xⁿ = a를 만족시키는 x를 a의 n제곱근이라 합니다.
기호로는 ⁿ√a (n이 2일 때는 √a)로 나타냅니다. 여기서 n을 근호의 지수(index), a를 피개근수(radicand)라 합니다.
2-1. 실수인 n제곱근의 개수
실수 범위에서 a의 n제곱근의 개수는 n이 짝수인지 홀수인지, 그리고 a의 부호에 따라 달라집니다.
| 구분 | a > 0 | a = 0 | a < 0 |
|---|---|---|---|
| n이 짝수 | 2개 (±ⁿ√a) | 1개 (0) | 0개 (없다) |
| n이 홀수 | 1개 (ⁿ√a) | 1개 (0) | 1개 (ⁿ√a) |
핵심 포인트 : n이 짝수이고 a < 0이면 실수 범위에서 n제곱근이 존재하지 않습니다. 이 조건이 시험에서 가장 자주 출제됩니다.
2-2. 기호 ⁿ√a 가 뜻하는 것
- n이 홀수 → ⁿ√a는 a의 n제곱근 그 자체 (실수가 1개뿐이므로)
- n이 짝수, a > 0 → ⁿ√a는 a의 양의 n제곱근만을 뜻합니다 (음의 것은 -ⁿ√a)
예) ⁴√16 = 2 (양의 네제곱근), -⁴√16 = -2 (음의 네제곱근)
예) ³√-27 = -3 (세제곱근은 1개이므로 그냥 -3)
3. 거듭제곱근의 성질 (5가지 핵심 공식)
아래 성질에서 a > 0, b > 0이고 m, n은 2 이상의 자연수입니다.
성질 ① 곱셈
ⁿ√a × ⁿ√b = ⁿ√(ab)
→ 근호의 지수가 같으면 피개근수끼리 곱할 수 있습니다.
성질 ② 나눗셈
ⁿ√a ÷ ⁿ√b = ⁿ√(a/b)
성질 ③ 거듭제곱
(ⁿ√a)ᵐ = ⁿ√(aᵐ)
→ 거듭제곱근을 거듭제곱하면, 피개근수만 거듭제곱됩니다.
성질 ④ 근호의 지수 변환
ᵐⁿ√a = ᵐ√(ⁿ√a) (이중근호 → 지수 곱)
→ ⁿ√(ᵐ√a) = ᵐⁿ√a 로도 쓸 수 있습니다. 근호가 겹치면 지수끼리 곱하면 됩니다.
성질 ⑤ 지수 약분
ᵐⁿ√(aᵐ) = ⁿ√a (지수와 피개근수의 지수를 동시에 나눈다)
→ 근호의 지수와 피개근수의 지수에 같은 수를 곱하거나 나눌 수 있습니다.
4. (ⁿ√a)ⁿ 과 ⁿ√(aⁿ) 정리
이 부분은 시험에서 함정으로 자주 나옵니다.
| 공식 | 결과 | 조건 |
|---|---|---|
| (ⁿ√a)ⁿ | a | 항상 성립 |
| ⁿ√(aⁿ), n이 홀수 | a | — |
| ⁿ√(aⁿ), n이 짝수 | |a| | 절댓값 주의! |
대표 실수 : √((-3)²) = √9 = 3 = |-3| (→ -3이 아님!). n이 짝수일 때 반드시 절댓값을 씌워야 합니다.
5. 거듭제곱근의 대소 비교
근호의 지수가 다른 두 수를 비교할 때는 근호의 지수를 통일하는 것이 기본 전략입니다.
예) ³√2 와 ⁴√3 비교 → 지수의 최소공배수 12로 통일
- ³√2 = ¹²√(2⁴) = ¹²√16
- ⁴√3 = ¹²√(3³) = ¹²√27
- 16 < 27 이므로 ³√2 < ⁴√3
6. 시험에서 자주 틀리는 포인트 3가지
❶ 짝수 제곱근 + 음수 → “없다”를 빠뜨림
⁴√(-16)은 실수 범위에서 존재하지 않습니다. “0개”라고 정확히 써야 합니다.
❷ ⁿ√(aⁿ) 에서 절댓값 빠뜨림
n이 짝수일 때 ⁿ√(aⁿ) = |a|입니다. 특히 a가 문자일 때 부호를 모르면 반드시 절댓값을 써야 합니다.
❸ 세제곱근과 “세제곱근 중 실수인 것”을 혼동
-27의 세제곱근은 복소수까지 포함하면 3개이지만, 실수인 것은 -3 하나뿐입니다. 문제에서 “실수인 것의 개수”를 물으면 1개입니다.
📝 기본 연산부터 다시 잡고 싶다면?
개념을 읽었으면 손으로 직접 풀어 봐야 진짜 내 것이 됩니다. 아래 연산 연습 포스트에서 거듭제곱·거듭제곱근 계산을 반복 훈련하세요.
- 👉 거듭제곱 기본 계산 연습 – 기본 다지기 : 밑과 지수의 기본 계산, 부호 판별
- 👉 거듭제곱근 값 구하기 연습 – 기본 다지기 : ⁿ√a 값을 직접 구하는 연습
- 👉 거듭제곱근의 성질 활용 계산 연습 – 기본 다지기 : 성질 ①~⑤ 적용 계산 훈련
📖 이 개념이 출제된 마플시너지 문제 풀이
아래는 마플시너지 대수1에서 거듭제곱·거듭제곱근 개념이 직접 사용되는 문제(1~19번)입니다. 난이도별로 골라 풀어 보세요.
🟢 기본 (BASIC)
🟡 보통 (NORMAL)
- 1번 – -27의 세제곱근과 ⁴√64 실수 개수 보기 판별
- 4번 – -4 세제곱근·√16 네제곱근 실수 개수와 a+b+c=8
- 5번 – (-5)^(n-1)의 n제곱근 실수 개수 aₙ 합 구하기
- 13번 – √(√27×∛3) + ⁵√96÷∛3 복합 거듭제곱근 계산
- 15번 – ∛a=4 ⁴√b=27일 때 ⁴√(a√b) 값 구하기
- 16번 – √2의 세제곱근 a, ⁴√4의 네제곱근 b에서 a+b=2ᵏ
- 17번 – √(a×⁴√a×⁶√a)=ⁿ√aᵐ 자연수 mn값 (서로소)
- 18번 – R(a,b)=ᵃ√b 함수 정의 보기 4개 판별
🔴 어려움 (TOUGH) — 수능·학평 기출 포함
- 6번 – x의 세제곱근·네제곱근 실수 개수 f(a)g(b)=2 순서쌍
- 7번 – n-5의 n제곱근 실수 개수 f(2)+…+f(k)=13
- 8번 – 집합 S={(a,b)|ᵇ√b는 실수} 보기 판별
- 9번 – n²-12n+27의 n제곱근 음의 실수 개수 합 (2025.09 고2학평)
- 10번 – n²-16n+48의 n제곱근 실수 개수 f(n) 합 (2023.10 고3학평)
- 11번 – -(n-k)²+8의 n제곱근 실수 개수 합=7 자연수k (2025 사관기출)
- 12번 – n²+1과 n²-8n+12의 n제곱근 실수 개수 f(n)=2g(n) (2024.09 고2학평)
- 19번 – x²-∛81·x+a=0 두 근이 ∛3과 b일 때 ab값 (2018.03 고3학평)
⏩ 다음 개념 : 지수의 확장
거듭제곱근을 완벽히 이해했다면, 다음은 0승·음의 지수·유리수 지수·실수 지수로 지수를 확장하는 단계입니다.
👉 지수의 확장 완벽정리 – 0승, 음의지수, 유리수지수, 실수지수