0승과 음의 지수 계산 연습
“어떤 수의 0승은 왜 1이 되는 거야?” — 고등수학에서 지수를 자연수 밖으로 확장하는 첫 관문이 바로 0승과 음의 지수입니다. a⁰ = 1이라는 약속은 지수법칙의 일관성을 지키기 위한 것이고, a⁻ⁿ = 1/aⁿ은 “역수”라는 개념과 연결됩니다. 이 두 가지만 확실히 잡으면 유리수 지수, 지수함수, 로그까지 자연스럽게 이어집니다. 반대로 여기서 흔들리면 이후 모든 지수·로그 계산에서 실수가 반복됩니다. 0승과 음의 지수를 빠르고 정확하게 처리하는 연습을 해보세요.
핵심 공식 정리
공식 1 │ 0승의 정의
a⁰ = 1 (단, a ≠ 0)
· 왜? aⁿ ÷ aⁿ = a⁽ⁿ⁻ⁿ⁾ = a⁰ = 1 (지수법칙과의 일관성)
⚠ 0⁰은 정의하지 않는다!
공식 2 │ 음의 지수의 정의
a−n = 1 / aⁿ (단, a ≠ 0, n은 자연수)
· 음의 지수 = 역수 취하기. 예: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8
공식 3 │ 자주 쓰는 변환 패턴
| 원래 식 | 변환 결과 | 핵심 |
| (a/b)−n | (b/a)n | 분모·분자 뒤집기 |
| a⁻¹ | 1/a | 역수 |
| a⁻ⁿ × aⁿ | a⁰ = 1 | 지수의 합 = 0 |
연습문제
Q1. 5⁰ + (−3)⁰ = ?
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5⁰ = 1, (−3)⁰ = 1 (0이 아닌 모든 수의 0승 = 1)
∴ 1 + 1 = 2
Q2. 2⁻³ = ?
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2⁻³ = 1/2³ = 1/8
Q3. (1/3)⁻² = ?
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(1/3)⁻² = (3/1)² = 3² = 9
💡 분수의 음의 지수 → 분모·분자를 뒤집고 양의 지수로!
Q4. (−2)⁻⁴ = ?
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(−2)⁻⁴ = 1/(−2)⁴ = 1/16 = 1/16
💡 음의 지수(역수) 먼저 → 그다음 부호 판별(짝수승 → 양수)
Q5. 2⁻¹ + 3⁻¹ = ?
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2⁻¹ = 1/2, 3⁻¹ = 1/3
∴ 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6
⚠ (2 + 3)⁻¹ = 5⁻¹ = 1/5 와 완전히 다르다! 2⁻¹ + 3⁻¹ ≠ (2+3)⁻¹
Q6. 2⁰ × 91/2 × (1/4)⁻¹ = ?
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2⁰ = 1
91/2 = √9 = 3
(1/4)⁻¹ = 4/1 = 4
∴ 1 × 3 × 4 = 12
Q7. (2/3)⁻² × (3/2)⁰ ÷ 6⁻¹ = ?
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(2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4
(3/2)⁰ = 1
6⁻¹ = 1/6 → 나누기 = 6 곱하기
∴ 9/4 × 1 × 6 = 54/4 = 27/2
Q8. 3² × 3⁻⁵ × 3⁰ × 3³ = ?
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밑이 모두 3이므로 지수끼리 더한다:
3^(2 + (−5) + 0 + 3) = 3⁰ = 1
💡 지수의 합이 0 → 결과는 항상 1. 지수법칙 am × an = am+n의 핵심!
📘 이 개념의 이론이 필요하다면?
🔢 고등대수 연산 시리즈 – 지수 영역
| 순서 | 연산 주제 |
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