거듭제곱근의 성질 활용 계산 연습
거듭제곱근의 값을 구할 줄 아는 것과, 성질을 활용해 복잡한 식을 정리하는 것은 완전히 다른 레벨의 문제입니다. ⁿ√(a×b)를 분리하고, 이중근호 ᵐ√(ⁿ√a)를 하나로 합치고, 지수가 다른 거듭제곱근끼리 대소를 비교하는 — 이 모든 과정의 핵심이 바로 “거듭제곱근의 성질 5가지”입니다. 학평·수능에서 거듭제곱근 성질은 단독 출제뿐 아니라 지수식·로그식 안에 녹아들어 반복적으로 등장합니다. 여기서 성질 공식을 손에 익힐 때까지 반복 연습해 보세요.
핵심 공식 정리
성질 1 │ 곱의 거듭제곱근
n√a × n√b = n√(a × b)
· 같은 차수의 거듭제곱근끼리는 밑을 곱해서 합칠 수 있다.
성질 2 │ 몫의 거듭제곱근
n√a ÷ n√b = n√(a / b) (b ≠ 0)
성질 3 │ 거듭제곱근의 거듭제곱
(n√a)m = n√(am)
· 바깥 지수를 근호 안으로 넣을 수 있다. (반대 방향도 가능)
성질 4 │ 이중 거듭제곱근 (근호 속 근호)
m√(n√a) = mn√a
· 근호 차수를 곱해서 하나의 거듭제곱근으로 합친다.
성질 5 │ 차수 변환 (통분의 원리)
n√(am) = nk√(amk) (k는 자연수)
· 근호 차수와 밑의 지수를 같은 수로 곱해도 값이 같다. → 대소 비교의 핵심 도구!
연습문제
Q1. ∛2 × ∛4 = ?
풀이 보기
성질 1 (곱의 거듭제곱근) 적용
∛2 × ∛4 = ∛(2 × 4) = ∛8 = 2
Q2. ⁶√6 × ⁶√36 = ?
풀이 보기
성질 1 적용
⁶√6 × ⁶√36 = ⁶√(6 × 36) = ⁶√216
6³ = 216 이므로 ⁶√216 = ⁶√(6³) = (⁶√6)³ … 잠깐, 직접 계산하면:
⁶√216 = ⁶√(6³) = 6^(3/6) = 6^(1/2) = √6
💡 ⁶√6 × ⁶√36 = 6 이 아니다! (마플시너지 14번에서 자주 틀리는 포인트)
Q3. ⁴√(48) ÷ ⁴√(3) = ?
풀이 보기
성질 2 (몫의 거듭제곱근) 적용
⁴√48 ÷ ⁴√3 = ⁴√(48 ÷ 3) = ⁴√16
2⁴ = 16 이므로 ⁴√16 = 2
Q4. (∛5)⁶ = ?
풀이 보기
성질 3 (거듭제곱근의 거듭제곱) 적용
(∛5)⁶ = ∛(5⁶) … 또는 지수로 변환하면:
= (5^(1/3))⁶ = 5^(6/3) = 5² = 25
Q5. √(∛8) = ?
풀이 보기
성질 4 (이중 거듭제곱근) 적용
√(∛8) = ²·³√8 = ⁶√8
8 = 2³ 이므로 ⁶√(2³) = 2^(3/6) = 2^(1/2) = √2
Q6. ∛(√27) = ?
풀이 보기
성질 4 적용: ∛(√27) = ³·²√27 = ⁶√27
27 = 3³ 이므로 ⁶√(3³) = 3^(3/6) = 3^(1/2) = √3
Q7. ⁴√3, ∛5, √6 의 대소를 비교하시오.
풀이 보기
성질 5 (차수 통일) 적용 — 4, 3, 2의 최소공배수 = 12
⁴√3 = ¹²√(3³) = ¹²√27
∛5 = ¹²√(5⁴) = ¹²√625
√6 = ¹²√(6⁶) = ¹²√46656
27 < 625 < 46656 이므로
∴ ⁴√3 < ∛5 < √6
Q8. ∛(√a) × ⁶√(a⁵) = ? (a > 0)
풀이 보기
지수 표현으로 통일:
∛(√a) = ∛(a^(1/2)) = a^(1/2 × 1/3) = a^(1/6)
⁶√(a⁵) = a^(5/6)
∴ a^(1/6) × a^(5/6) = a^(1/6 + 5/6) = a^1 = a
💡 복합 거듭제곱근은 유리수 지수로 바꾸면 깔끔하게 처리된다.
📘 이 개념의 이론이 필요하다면?
🔢 고등대수 연산 시리즈 – 지수 영역
| 순서 | 연산 주제 |
| 이전 ② | 거듭제곱 기본 계산 연습 |
| 이전 ① | 거듭제곱근 값 구하기 연습 |
| ▶ 현재 | 거듭제곱근의 성질 활용 계산 연습 |
| 다음 ① | 0승과 음의 지수 계산 연습 |
| 다음 ② | 유리수 지수 계산 연습 |
| 다음 ③ | 지수법칙 종합 계산 연습 |