📌 24ˣ = 32, 3ʸ = 128… 밑이 다른데 어떻게 연결하죠?
이 문제는 학교기출 대표유형으로, 밑이 서로 다른 두 지수식을 하나의 공통 밑(밑 2)으로 통일하는 전형적인 문제입니다. 24ˣ = 32 = 2⁵, 3ʸ = 128 = 2⁷이라는 점을 이용하여 양변을 1/x제곱, 1/y제곱하면 5/x와 7/y가 자연스럽게 나타납니다. 서술형 출제도 잦으니 풀이 과정을 꼼꼼히 익혀두세요. 정답은 3입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 73번 · 학교기출 대표유형)
두 실수 x와 y에 대하여 24ˣ = 32, 3ʸ = 128일 때 5/x − 7/y의 값을 구하는 문제입니다. 밑을 2로 통일한 뒤, 양변을 적절히 거듭제곱하여 24와 3을 2의 거듭제곱으로 표현하는 것이 핵심입니다. 정답은 3입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
24ˣ = 32에서 양변을 1/x제곱하면 24 = 32^(1/x) = (2⁵)^(1/x) = 2^(5/x) … ㉮
3ʸ = 128에서 양변을 1/y제곱하면 3 = 128^(1/y) = (2⁷)^(1/y) = 2^(7/y) … ㉯
㉮ ÷ ㉯에서 24 ÷ 3 = 2^(5/x) ÷ 2^(7/y), 즉 8 = 2^(5/x − 7/y)입니다.
따라서 2^(5/x − 7/y) = 2³이므로 5/x − 7/y = 3입니다.
24ˣ = 32에서 x = log₂₄32이므로 1/x = log₃₂24 = (1/5)log₂24 ∴ 5/x = log₂24
3ʸ = 128에서 y = log₃128이므로 1/y = log₁₂₈3 = (1/7)log₂3 ∴ 7/y = log₂3
따라서 5/x − 7/y = log₂24 − log₂3 = log₂8 = 3입니다.
∴ 5/x − 7/y = 3 → 정답: 3
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 32 = 2⁵, 128 = 2⁷을 정확히 기억하지 못하는 경우.
2의 거듭제곱은 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024까지 암기해 두면 시험에서 즉시 활용 가능합니다.
실수 ② “양변을 1/x제곱한다”는 조작을 떠올리지 못하는 경우.
Aˣ = B 형태에서 A = B^(1/x)으로 바꾸는 것은 이 유형의 필수 변형 기술입니다.
실수 ③ ㉮ ÷ ㉯에서 24 ÷ 3 = 8을 잘못 계산하거나, 2의 거듭제곱 비교에서 지수를 틀리는 경우.
💡 꿀팁 – “1/x제곱 변환 → 나눗셈으로 지수 뺄셈” 패턴
이 유형은 매번 같은 패턴으로 풀립니다.
① Aˣ = 2^n → 양변 1/x제곱 → A = 2^(n/x)
② Bʸ = 2^m → 양변 1/y제곱 → B = 2^(m/y)
③ A/B 또는 A×B를 계산하여 2^(?) 꼴로 만들기
구하는 식이 n/x − m/y이면 나눗셈, n/x + m/y이면 곱셈을 사용합니다.
이 3단계만 기억하면 서술형도 자신 있게 쓸 수 있습니다.