📌 2023년 9월 고3 모평 11번! “네제곱근 중 실수인 것을 모두 곱한 값”을 지수법칙으로 풀 수 있나요?
이 문제는 2023학년도 9월 고3 모의평가 기출입니다. √(3f(n))의 네제곱근 중 실수인 것을 모두 곱한 값이 −9라는 조건에서, 먼저 지수법칙으로 곱을 정리하여 f(n) = 8을 구하고, 이차함수 f(x) = −(x−2)² + k의 그래프에서 f(n) = 8을 만족하는 자연수 n이 정확히 2개가 되도록 상수 k를 결정합니다. 대칭축 x = 2를 기준으로 n = 1, 3이 되어야 하므로 f(1) = 8 → k = 9입니다. 정답은 ② 9입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 111번 · 2023.09 고3 모평 11번)
함수 f(x) = −(x−2)² + k에 대하여 다음 조건을 만족시키는 자연수 n의 개수가 2일 때, 상수 k의 값은?
조건: √(3f(n))의 네제곱근 중 실수인 것을 모두 곱한 값이 −9이다.
정답은 ② 9입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
√(3f(n))의 네제곱근 중 실수인 것을 x라 하면 x⁴ = √(3f(n))
∴ x = ±⁴√(√(3f(n))) = ±3f(n)/8
이때 실수인 것을 모두 곱한 값이 −9이므로
⁴√(3f(n)) × (−⁴√(3f(n))) = −3f(n)/8 × 3f(n)/8
= −3f(n)/8 + f(n)/8 = −3f(n)/4 = −9
즉 3f(n)/4 = 3² → f(n)/4 = 2 → f(n) = 8 ……ⓐ
이차함수 f(x) = −(x−2)² + k의 그래프의 대칭축은 x = 2이므로
ⓐ을 만족시키는 자연수 n의 개수가 2이기 위해서는
이차함수 y = f(x)와 직선 y = 8의 교점의 x좌표가 자연수가 되도록 하는 x = n이 2개가 되어야 합니다.
대칭축이 x = 2이므로 2보다 작은 자연수는 1이므로
이차함수 y = f(x)의 그래프가 점 (1, 8)을 지나야 합니다.
(대칭에 의해 (3, 8)도 지나게 됩니다.)
즉 f(1) = −1 + k = 8
따라서 k = 9
∴ 정답: ② 9
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① √(3f(n))의 네제곱근을 x⁴ = 3f(n)으로 놓는 오류.
x⁴ = √(3f(n)) = 3f(n)/2입니다. 제곱근이 먼저 적용됩니다.
실수 ② 네제곱근 중 실수인 것이 양수 하나뿐이라고 생각하는 경우.
x⁴ = (양수)이면 실수 네제곱근은 ±⁴√(양수)로 2개입니다.
실수 ③ 자연수 n의 개수가 2인 조건에서 k값을 잘못 설정하는 경우.
f(n) = 8과 y = f(x)의 교점 중 x좌표가 자연수인 것이 정확히 2개여야 합니다.
대칭축 x = 2를 기준으로 n = 1, 3이 유일한 경우임을 확인하세요.
💡 꿀팁 – “거듭제곱근의 실수인 것을 모두 곱한 값” 패턴
양수 A의 네제곱근 중 실수인 것은 ±⁴√A이므로, 모두 곱하면
⁴√A × (−⁴√A) = −(⁴√A)² = −√A
따라서 “네제곱근 중 실수인 것의 곱 = −√A”라는 공식이 됩니다.
이 문제에서는 A = √(3f(n)) = 3f(n)/2이므로
곱 = −√(3f(n)/2) = −3f(n)/4 = −9에서 f(n) = 8을 바로 구할 수 있습니다.