📌 2023 수능 13번! m¹²의 n제곱근이 정수가 되려면 12/n이 정수여야 합니다. 약수 개수가 핵심!
이 문제는 2023학년도 수능 기출 문제입니다. m¹²의 n제곱근은 x = m12/n이므로, 이 값이 정수가 되려면 12/n이 정수(즉 n이 12의 약수)이거나, m의 소인수분해에 따라 추가 경우가 생깁니다. m = 2, 3, …, 9 각각에 대해 m12/n이 정수가 되는 2 이상의 자연수 n의 개수 f(m)을 세면, f(2) = f(3) = f(5) = f(6) = f(7) = 5, f(4) = f(9) = 7, f(8) = 8입니다. 정답은 ③ 47입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 110번 · 2023학년도 수능 13번)
자연수 m(m ≥ 2)에 대하여 m¹²의 n제곱근 중에서 정수가 존재하도록 하는 2 이상의 자연수 n의 개수를 f(m)이라 할 때, f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) + f(7) + f(8) + f(9)의 값은? 정답은 ③ 47입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
m¹²의 n제곱근은 x에 대한 방정식 xⁿ = m¹²의 근입니다.
∴ x = m12/n ……ⓐ
이때 m의 값에 따라 방정식 ⓐ이 정수근을 갖도록 하는 2 이상의 자연수 n의 개수를 구합니다.
(ⅰ) m = 2일 때: x = 212/n이 정수 → n은 12의 약수 → n = 2, 3, 4, 6, 12 → f(2) = 5
12 = 2² × 3의 2 이상의 약수의 개수 = (2+1)(1+1) − 1 = 5
(ⅱ) m = 3일 때: x = 312/n이 정수 → n은 12의 약수 → f(3) = 5
(ⅲ) m = 4 = 2²일 때: x = 412/n = 224/n이 정수 → n은 24의 약수
n = 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 → f(4) = 7
24 = 2³ × 3의 2 이상의 약수의 개수 = (3+1)(1+1) − 1 = 7
(ⅳ) m = 5일 때: x = 512/n → n은 12의 약수 → f(5) = 5
(ⅴ) m = 6일 때: x = 612/n → n은 12의 약수 → f(6) = 5
(ⅵ) m = 7일 때: x = 712/n → n은 12의 약수 → f(7) = 5
(ⅶ) m = 8 = 2³일 때: x = 812/n = 236/n이 정수 → n은 36의 약수
n = 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 → f(8) = 8
36 = 2² × 3²의 2 이상의 약수의 개수 = (2+1)(2+1) − 1 = 8
(ⅷ) m = 9 = 3²일 때: x = 912/n = 324/n이 정수 → n은 24의 약수 → f(9) = 7
(ⅰ)~(ⅷ)에 의하여
f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) + f(7) + f(8) + f(9)
= 5 + 5 + 7 + 5 + 5 + 5 + 8 + 7
= 5 × 5 + 7 × 2 + 8 = 25 + 14 + 8 = 47
∴ 정답: ③ 47
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① m이 소수가 아닌 경우(m = 4, 8, 9)를 m이 소수인 경우와 동일하게 처리하는 오류.
m = 4 = 2²이면 m¹² = 2²⁴이므로 12가 아닌 24의 약수로 세어야 합니다.
실수 ② “n은 12의 약수”라고만 외우고 m의 소인수분해를 무시하는 경우.
m12/n이 정수가 되려면 12/n이 정수일 필요는 없습니다. m이 거듭제곱수일 때 n이 12의 약수가 아닌 값도 가능합니다.
실수 ③ 약수의 개수에서 n = 1을 포함시키는 경우. n ≥ 2 조건이므로 약수에서 1을 반드시 빼야 합니다.
💡 꿀팁 – “2 이상의 약수의 개수” 빠른 계산법
N = p₁a₁ × p₂a₂ × … 의 양의 약수의 개수는 (a₁+1)(a₂+1)…이므로,
2 이상의 약수의 개수 = (a₁+1)(a₂+1)… − 1 (약수 1을 빼는 것)
예: 12 = 2² × 3 → (3)(2) − 1 = 5, 24 = 2³ × 3 → (4)(2) − 1 = 7, 36 = 2² × 3² → (3)(3) − 1 = 8