📌 정사각형을 반복 구성하면 좌표가 어떻게 변할까? 유리수 지수의 연쇄 적용이 핵심입니다!
이 문제는 두 곡선 y = x²과 y = x³ 사이에서 정사각형을 반복 구성하며 좌표를 추적하는 고난도 유형입니다. P₁(a, a²) → 정사각형 OQ₁AB → 곡선 y = x³과 만나는 P₂ → 정사각형 OQ₂CD → 곡선 y = x²과 만나는 P₃ 이 과정에서 b = a1/3, c = b1/2 = a1/6으로 좌표가 축소됩니다. bc = 2 조건을 적용하면 a = 4, P₁의 y좌표는 a² = 16이 됩니다. 정답은 16입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 108번 · STEP3 일등급문제)
좌표평면에 f(x) = x², g(x) = x³이 있다. 곡선 y = f(x) 위의 점 P₁(a, f(a))(a > 1)에서 x축에 수선을 내려 Q₁을 잡고, OQ₁을 한 변으로 하는 정사각형 OQ₁AB의 한 변 AB가 y = g(x)와 만나는 점 P₂, P₂에서 다시 수선의 발 Q₂, OQ₂를 한 변으로 하는 정사각형 OQ₂CD의 한 변 CD가 y = f(x)와 만나는 점 P₃, P₃에서 수선의 발 Q₃까지. Q₂, Q₃의 x좌표를 각각 b, c라 할 때, bc = 2가 되도록 하는 점 P₁의 y좌표를 구하시오. 정답은 16입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
좌표 정리:
P₁(a, a²), Q₁(a, 0), A(a, a), B(0, a)
정사각형 OQ₁AB의 한 변의 길이가 a이므로
점 P₂의 y좌표는 정사각형의 윗변 y = a 위에 있고, P₂는 y = x³ 위의 점이므로
b³ = a (∵ 점 P₂는 함수 y = x³ 위의 점)
이때 b³ˣ¹/³ = a1/3이므로 b = a1/3
점 P₃의 y좌표는 정사각형 OQ₂CD의 윗변 y = b 위에 있고, P₃는 y = x² 위의 점이므로
c² = b (∵ 점 P₃는 함수 y = x² 위의 점)
이때 c²ˣ¹/² = b1/2이므로 c = b1/2 = (a1/3)1/2 = a1/6
이때 bc = 2이고
bc = a1/3 · a1/6 = a1/3 + 1/6 = a1/2이므로 a1/2 = 2
∴ a = 2² = 4
따라서 점 P₁의 y좌표의 값은 a² = 4² = 16
∴ 정답: 16
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① P₂가 y = x³ 위의 점인데 “P₂의 x좌표가 b이고 y좌표가 b²”로 잘못 놓는 경우.
P₂는 y = x³ 위의 점이므로 P₂의 좌표는 (b, b³)이고, b³ = a입니다. P₃가 y = x² 위의 점입니다.
실수 ② 정사각형의 한 변의 길이를 잘못 파악하는 경우.
정사각형 OQ₁AB에서 OQ₁ = a(P₁의 x좌표)이므로 한 변의 길이는 a이고,
정사각형 OQ₂CD에서 OQ₂ = b이므로 한 변의 길이는 b입니다.
실수 ③ a1/3 + 1/6 = a2/6 + 1/6 = a3/6 = a1/2 계산에서 분수 덧셈을 틀리는 경우.
1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2임을 꼼꼼히 확인하세요.
💡 꿀팁 – 정사각형 반복 구성 유형 접근법
이런 “정사각형을 반복 구성” 유형에서는:
① 각 단계의 좌표를 처음 값 a의 유리수 지수로 표현하기
② “곡선 위의 점”이라는 조건에서 y = xn → x = y1/n을 반복 적용
③ 최종 조건(bc = 2 등)에서 a의 지수끼리 합산하여 a값 결정
핵심은 모든 좌표를 a 하나로 표현하는 것입니다. 그림을 그리면서 각 점의 좌표를 a의 거듭제곱으로 적어두면 실수를 줄일 수 있습니다.