📌 정육면체 부피가 a⁴? 한 모서리 길이를 a의 유리수 지수로 표현하는 것이 첫 단추입니다!
이 문제는 유리수 지수 표현을 도형 문제에 적용하는 고난도 유형입니다. 정육면체의 부피가 a⁴이면 한 모서리의 길이 x는 x³ = a⁴, 즉 x = a4/3이 되고, 대각선으로 잘린 정삼각형의 한 변은 √2·x입니다. 정삼각형 넓이 공식에 대입한 뒤 8√3a²와 같다고 놓으면 a4/3 = 4a라는 등식이 나오고, 여기서 a1/3 = 4를 얻어 a = 64가 됩니다. 정답은 64입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 107번 · STEP3 일등급문제)
그림과 같이 정육면체의 부피는 a⁴이고 색칠한 정삼각형의 넓이는 8√3a²일 때, 양수 a의 값을 구하는 문제입니다. 정답은 64입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
정육면체의 한 모서리의 길이를 x라 하면
정육면체의 부피는 a⁴이므로 x³ = a⁴
∴ x = a4/3 (x > 0) ……ⓐ
색칠한 정삼각형의 한 변의 길이는 √2·x이고
정삼각형의 넓이는 8√3a²이므로
(√3/4) × (√2·x)² = 8√3a²
(√3/4) × 2x² = 8√3a²
(√3/2) × x² = 8√3a²
x² = 16a²
∴ x = 4a ……ⓑ
ⓐ, ⓑ에 의하여 4a = a4/3이므로
양변을 a로 나누면 4 = a1/3
따라서 a = 4³ = 64
∴ 정답: 64
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 정육면체의 대각선으로 잘린 단면의 정삼각형 한 변을 x로 놓는 오류.
정육면체에서 한 꼭짓점에 인접한 세 꼭짓점을 잇는 정삼각형의 한 변은 면의 대각선 = √2·x입니다.
실수 ② x³ = a⁴에서 x = a4/3을 x = ∛(a⁴)로 바꾸지 못하고 멈추는 경우.
유리수 지수로 표현하는 것이 이 문제의 핵심입니다. am/n = (ⁿ√a)ᵐ임을 기억하세요.
실수 ③ 4a = a4/3에서 양변을 a로 나눌 때 a ≠ 0 조건을 확인하지 않는 경우.
a > 0이 주어져 있으므로 안전하게 나눌 수 있습니다.
💡 꿀팁 – 도형 + 유리수 지수 복합 문제 접근법
도형의 길이·넓이·부피가 a의 거듭제곱으로 주어지면,
① 기본 길이를 a의 유리수 지수로 표현 (모서리 = am/n)
② 도형 공식(넓이, 부피 등)에 대입하여 a의 지수끼리 등식을 만들기
③ 양변의 지수를 비교하거나, a로 나누어 a1/n = (상수) 꼴로 정리
이 3단계를 따르면 복잡해 보이는 도형 문제도 지수 계산으로 깔끔하게 해결됩니다.