📌 [TOUGH] a + √(a²−1)이 3^(1/6)으로 깔끔하게 정리된다는 것, 아시나요?
이 문제는 유리수 지수의 대칭식과 완전제곱식을 결합한 고난도 서술형입니다. a = (3^(1/6) + 3^(-1/6))/2를 제곱하여 a²을 구하고, √(a²−1)이 (3^(1/6) − 3^(-1/6))/2으로 정리되는 것을 보이면, a + √(a²−1) = 3^(1/6)이 되어 12제곱은 3² = 9로 마무리됩니다. “합과 차의 평균” 구조를 꿰뚫어 보는 것이 핵심입니다. 정답은 9입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 99번 · 서술형 · TOUGH)
a = (3^(1/6) + 3^(-1/6))/2일 때, (a + √(a²−1))¹²의 값을 구하는 서술형 문제입니다.
[1단계] a²의 값을 구한다. [3점]
[2단계] √(a²−1)의 값을 구한다. [4점]
[3단계] (a + √(a²−1))¹²의 값을 구한다. [3점]
정답은 9입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
a = (3^(1/6) + 3^(-1/6))/2의 양변을 제곱하면
a² = ((3^(1/6) + 3^(-1/6))/2)² = (3^(1/3) + 2 + 3^(-1/3))/4
∴ a² = (3^(1/3) + 2 + 3^(-1/3))/4
a² − 1 = (3^(1/3) + 2 + 3^(-1/3))/4 − 1 = (3^(1/3) − 2 + 3^(-1/3))/4
= ((3^(1/6) − 3^(-1/6))/2)²
(∵ (3^(1/6) − 3^(-1/6))² = 3^(1/3) − 2 + 3^(-1/3))
∴ √(a²−1) = (3^(1/6) − 3^(-1/6))/2
(3^(1/6) > 3^(-1/6) > 0이므로 양수)
a + √(a²−1) = (3^(1/6) + 3^(-1/6))/2 + (3^(1/6) − 3^(-1/6))/2
= 2 · 3^(1/6) / 2 = 3^(1/6)
따라서 (a + √(a²−1))¹² = (3^(1/6))¹² = 3^(12/6) = 3² = 9
∴ (a + √(a²−1))¹² = 9
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① a²을 전개할 때 분모 4를 빠뜨리거나, (A+B)²의 중간항 2AB를 누락하는 경우.
((A+B)/2)² = (A² + 2AB + B²)/4이므로 분모 4를 반드시 유지하세요.
실수 ② a² − 1을 정리할 때, 이것이 ((3^(1/6) − 3^(-1/6))/2)² 꼴이 된다는 것을 알아채지 못하는 경우.
(A+B)²/4 − 1 = (A² + 2AB + B² − 4)/4 = (A² − 2AB + B²)/4 = ((A−B)/2)²가 핵심 변환입니다.
실수 ③ 3^(1/6)의 12제곱을 계산할 때 지수법칙을 잘못 적용하는 경우.
(3^(1/6))¹² = 3^(1/6 × 12) = 3² = 9입니다.
💡 꿀팁 – (A+B)/2와 (A−B)/2 구조 인식
a = (A + B)/2 꼴이 주어지면 √(a²−1) = (A − B)/2가 되는 경우가 많습니다. (AB = 1일 때)
① a + √(a²−1) = (A+B)/2 + (A−B)/2 = A
② a − √(a²−1) = (A+B)/2 − (A−B)/2 = B
이 구조를 알면 복잡한 계산 없이 바로 답을 구할 수 있습니다.
쌍곡선 함수의 cosh·sinh 관계와도 연결되는 중요한 패턴입니다.